Најважније из лекције
Геометријска конструкција је цртање фигуре само лењиром и шестаром. Основни угао је \( 60^\circ \) (из једнакостраничног троугла), а прав угао \( 90^\circ \) добијамо као симетралу опруженог угла од \( 180^\circ \). Полутирањем (симетралом) добијамо \( 30^\circ = \tfrac{60^\circ}{2} \) и \( 15^\circ = \tfrac{30^\circ}{2} \). Наношењем углова један до другог или један преко другог конструишемо њихов збир и разлику, нпр. \( 120^\circ = 60^\circ + 60^\circ \), \( 45^\circ = 60^\circ - 15^\circ \), \( 75^\circ = 60^\circ + 15^\circ \). Не може се конструисати сваки угао (нпр. \( 20^\circ \)); за такве углове користи се угломер.
Геометријска конструкција јесте цртање геометријске фигуре само помоћу лењира (неозначеног, без подеоке) и шестара. Лењиром цртамо праве и полуправе, а шестаром кружне лукове и кружнице.
Помоћу лењира и шестара не може се конструисати сваки угао. На пример, угао мере \( 20^\circ \) није могуће конструисати само лењиром и шестаром. За такве углове користи се угломер (котирани полукруг за мерење и цртање углова).
Угао од \( 60^\circ \) добијамо из једнакостраничног троугла, чији су сви углови једнаки \( 60^\circ \).
Кораци конструкције:
- Нацртамо полуправу \( Op \).
- Шестаром из центра \( O \) произвољним полупречником нацртамо лук; пресек лука и полуправе означимо са \( A \).
- Истим полупречником из центра \( A \) нацртамо лук; пресек тог и претходног лука означимо са \( B \).
- Повучемо полуправу \( Oq \) кроз тачку \( B \). Угао \( pOq \) има меру \( 60^\circ \), јер је троугао \( AOB \) једнакостраничан \( (OA = AB = OB) \).
Симетрала угла је полуправа која садржи теме угла и дели тај угао на два једнака дела.
Опружен угао има меру \( 180^\circ \). Пошто је \( 90^\circ \) половина од \( 180^\circ \), прав угао добијамо тако што конструишемо симетралу опруженог угла.
Кораци конструкције угла од \( 90^\circ \):
- Нацртамо опружен угао \( pOq \) (праву са теменом \( O \)), чија је мера \( 180^\circ \).
- Конструишемо симетралу \( s \) тог угла.
- Симетрала дели опружен угао на два једнака дела, па сваки од њих има меру \( \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ \).
Мање углове добијамо тако што већ конструисани угао преполовимо симетралом.
\[ 30^\circ = \frac{60^\circ}{2} \qquad 15^\circ = \frac{30^\circ}{2} \]
Дакле, најпре конструишемо \( 60^\circ \), његовом симетралом добијемо \( 30^\circ \), а симетралом угла од \( 30^\circ \) добијемо \( 15^\circ \).
Ако су дата два угла \( \alpha \) и \( \beta \) (нека је \( \alpha > \beta \)), можемо конструисати њихов збир \( \alpha + \beta \) и њихову разлику \( \alpha - \beta \), тако што углове наносимо шестаром један до другог (за збир), односно један преко другог (за разлику), са заједничким теменом.
Управо се на овај начин добијају и „сложени" углови: \( 120^\circ = 60^\circ + 60^\circ \) и \( 45^\circ = 60^\circ - 15^\circ \).
Угао чија се мера може записати као збир или разлика већ конструисаних углова — сам је конструктибилан.
\[ 120^\circ = 60^\circ + 60^\circ \]
\[ 45^\circ = 60^\circ - 15^\circ \qquad \text{или} \qquad 45^\circ = \frac{90^\circ}{2} \]
Угао од \( 45^\circ \) можемо добити на два начина:
- као разлику \( 60^\circ - 15^\circ \);
- као половину правог угла: симетрала угла од \( 90^\circ \) даје \( \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
Користећи само троугаоне лењире (геометријски троуглове) можемо нацртати неке углове, као и паралелне и нормалне праве.
| Лењир | Углови |
|---|---|
| Полуправоугли (30–60–90) | \( 30^\circ,\; 60^\circ,\; 90^\circ \) |
| Једнакокраки (45–45–90) | \( 45^\circ,\; 45^\circ,\; 90^\circ \) |
Задаци за вежбање
Лак задатак: Помоћу лењира и шестара конструиши угао мере \( 120^\circ \). Објасни од којих углова полазиш.
Меру \( 120^\circ \) записујемо као збир два угла од \( 60^\circ \):
\[ 120^\circ = 60^\circ + 60^\circ \]
Прво конструишемо угао од \( 60^\circ \) (помоћу једнакостраничног троугла), а затим шестаром на његов крак наносимо још један угао од \( 60^\circ \). Добијени угао има меру \( 120^\circ \).
Одговор: \( 120^\circ = 60^\circ + 60^\circ \).
Одговор: \( 120^\circ = 60^\circ + 60^\circ \).
Средњи задатак: Конструиши угао мере \( 45^\circ \). Покажи два различита пута до решења.
Први начин (разлика углова):
\[ 45^\circ = 60^\circ - 15^\circ \]
Конструишемо \( 60^\circ \), затим \( 15^\circ \) (двоструким полутирањем: \( 60^\circ \to 30^\circ \to 15^\circ \)), па од угла од \( 60^\circ \) „одузмемо" \( 15^\circ \).
Други начин (половина правог угла): \[ 45^\circ = \frac{90^\circ}{2} \] Конструишемо прав угао (симетрала опруженог угла), а затим повучемо симетралу тог правог угла. Она га дели на два једнака дела од по \( 45^\circ \).
Одговор: \( 45^\circ = 60^\circ - 15^\circ = \dfrac{90^\circ}{2} \).
Други начин (половина правог угла): \[ 45^\circ = \frac{90^\circ}{2} \] Конструишемо прав угао (симетрала опруженог угла), а затим повучемо симетралу тог правог угла. Она га дели на два једнака дела од по \( 45^\circ \).
Одговор: \( 45^\circ = 60^\circ - 15^\circ = \dfrac{90^\circ}{2} \).
Тежак задатак: Конструиши угао мере \( 75^\circ \) само помоћу лењира и шестара.
Тражимо начин да \( 75^\circ \) запишемо преко углова које умемо да конструишемо. Пошто су конструктибилни \( 60^\circ \) и \( 15^\circ \), пишемо:
\[ 75^\circ = 60^\circ + 15^\circ \]
Кораци:
Одговор: \( 75^\circ = 60^\circ + 15^\circ \).
- конструишемо угао \( 60^\circ \);
- конструишемо угао \( 15^\circ \) (полутирањем: \( 60^\circ \to 30^\circ \to 15^\circ \));
- шестаром наносимо \( 15^\circ \) на слободан крак угла од \( 60^\circ \), чиме добијамо збир \( 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ \).
Одговор: \( 75^\circ = 60^\circ + 15^\circ \).
