Најважније из лекције
Кључне формуле за површину фигура са нормалним дијагоналама:
- Општи четвороугао: \( P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \) (Важи само ако се дијагонале секу под правим углом!)
- Ромб: Може се рачунати као \( P = a \cdot h \) или \( P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \).
- Квадрат: Може се рачунати преко странице \( P = a^2 \) или преко дијагонале \( P = \frac{d^2}{2} \).
Површина било ког конвексног четвороугла чије су дијагонале узајамно нормалне (секу се под правим углом) једнака је половини производа његових дијагонала.
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
\( d_1 \) и \( d_2 \) су дијагонале четвороугла.
Израчунај површину четвороугла чије су дијагонале узајамно нормалне и износе \( 8 \text{ cm} \) и \( 11 \text{ cm} \).
Примењујемо формулу за четвороуглове са нормалним дијагоналама:
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{8 \cdot 11}{2} = \frac{88}{2} = 44 \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина четвороугла је \( 44 \text{ cm}^2 \).
Како су дијагонале ромба увек узајамно нормалне, општа формула за четвороуглове са нормалним дијагоналама се може применити и на ромб.
Површину ромба можемо рачунати на два начина:
\[ P = a \cdot h \quad \text{или} \quad P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
\( a \) - страница ромба, \( h \) - висина ромба, \( d_1, d_2 \) - дијагонале.
Израчунај површину ромба чије су дијагонале \( 12 \text{ cm} \) и \( 5 \text{ cm} \).
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина ромба је \( 30 \text{ cm}^2 \).
Квадрат је специјалан случај ромба (има све једнаке странице и нормалне дијагонале), али су код квадрата дијагонале и међусобно једнаке (\( d_1 = d_2 = d \)).
Површину квадрата можемо рачунати преко странице или преко дијагонале:
\[ P = a^2 \quad \text{или} \quad P = \frac{d^2}{2} \]
\( a \) - страница квадрата, \( d \) - дијагонала квадрата.
Ако је дијагонала квадрата \( d = 2 \text{ cm} \), његова површина се рачуна као:
\[ P = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}^2 \]
Површина квадрата износи \( 18 \text{ cm}^2 \). Колика је дужина његове дијагонале?
\[ P = \frac{d^2}{2} \]
\[ 18 = \frac{d^2}{2} \]
\[ d^2 = 18 \cdot 2 = 36 \]
\[ d = 6 \text{ cm} \]
Одговор: Дужина дијагонале је \( 6 \text{ cm} \).
Задаци за вежбање
Лак: Делтоид је четвороугао чије су дијагонале узајамно нормалне. Израчунај површину делтоида ако су дужине његових дијагонала \( d_1 = 6 \text{ cm} \) и \( d_2 = 9 \text{ cm} \).
Пошто су дијагонале нормалне, користимо формулу:
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
\[ P = \frac{6 \cdot 9}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина делтоида је \( 27 \text{ cm}^2 \).
Средњи: Површина ромба је \( 40 \text{ cm}^2 \), а једна његова дијагонала износи \( 10 \text{ cm} \). Израчунај дужину друге дијагонале.
Користимо формулу за површину преко дијагонала:
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
\[ 40 = \frac{10 \cdot d_2}{2} \]
\[ 40 = 5 \cdot d_2 \]
\[ d_2 = \frac{40}{5} = 8 \text{ cm} \]
Одговор: Дужина друге дијагонале је \( 8 \text{ cm} \).
Тежак: Ромб има дијагоналу \( d_1 = 12 \text{ cm} \) и површину \( 48 \text{ cm}^2 \). Такође, познато је да је страница овог ромба \( a = 10 \text{ cm} \).
а) Израчунај другу дијагоналу ромба.
б) Израчунај висину ромба \( h \).
а) Израчунај другу дијагоналу ромба.
б) Израчунај висину ромба \( h \).
а) Рачунамо другу дијагоналу преко формуле \( P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \):
\[ 48 = \frac{12 \cdot d_2}{2} \]
\[ 48 = 6 \cdot d_2 \implies d_2 = 8 \text{ cm} \]
б) Рачунамо висину користећи другу формулу за површину \( P = a \cdot h \):
\[ 48 = 10 \cdot h \]
\[ h = \frac{48}{10} = 4,8 \text{ cm} \]
Одговор: Друга дијагонала је \( 8 \text{ cm} \), а висина ромба је \( 4,8 \text{ cm} \).
