Најважније из лекције
- Бројевна права: тачка \( O \) одговара нули (координатни почетак), тачка \( I \) јединици; надесно је позитиван, а налево негативан смер.
- Основно правило: сваком рационалном броју одговара тачно једна тачка, а различитим бројевима различите тачке.
- Разломак \( \dfrac{p}{q} \): јединичну дуж поделимо на \( q \) делова и направимо \( p \) корака у смеру знака броја.
- Различити имениоци: прво све сведемо на заједнички именилац (НЗС), па онда представимо.
- Децимални број: прво га претворимо у разломак (нпр. \( 0{,}25=\dfrac{1}{4} \)), па га представимо.
Бројевна права је права на коју можемо „сместити“ сваки број. На њој бирамо тачку којој придружујемо број \( 0 \) и тачку којој придружујемо број \( 1 \).
Координатни почетак је тачка на бројевној правој која одговара броју \( 0 \) (означавамо је са \( O \)). Тачку која одговара броју \( 1 \) означавамо са \( I \).
Бројевна права има два смера:
- позитиван смер — надесно, ка већим бројевима (стрелица \( + \));
- негативан смер — налево, ка мањим бројевима (стрелица \( - \)).
Јединична дуж је дуж \( OI \) — растојање између тачке која одговара нули и тачке која одговара јединици.
Пола корака је корак чија је дужина једнака половини дужине јединичне дужи.
Ако од тачке \( O \) (број \( 0 \)) направимо пола корака у позитивном смеру, стижемо до тачке \( B \), којој одговара број \( \dfrac{1}{2} \). Записујемо: \( B\!\left(\dfrac{1}{2}\right) \).
Ако од тачке \( O \) направимо пола корака у негативном смеру, стижемо до тачке \( C \), којој одговара број \( -\dfrac{1}{2} \). Записујемо: \( C\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) \).
Сваком рационалном броју одговара тачно једна тачка бројевне праве. Различитим рационалним бројевима одговарају различите тачке бројевне праве.
Разломак облика \( \dfrac{p}{q} \) представљамо тако што јединичну дуж поделимо на \( q \) једнаких делова, а затим од координатног почетка направимо \( p \) таквих корака.
Смер бирамо према знаку броја:
- ако је број позитиван, кораке правимо у позитивном смеру (надесно);
- ако је број негативан, кораке правимо у негативном смеру (налево).
Да бисмо представили бројеве \( \dfrac{1}{5},\ \dfrac{3}{5},\ \dfrac{5}{5},\ \dfrac{8}{5} \) и \( -\dfrac{2}{5},\ -\dfrac{4}{5},\ -\dfrac{6}{5} \), делимо јединичну дуж на \( 5 \) једнаких делова (петине).
- За \( \dfrac{1}{5},\ \dfrac{3}{5},\ \dfrac{5}{5},\ \dfrac{8}{5} \) правимо једну, три, пет и осам петина корака у позитивном смеру.
- За \( -\dfrac{2}{5},\ -\dfrac{4}{5},\ -\dfrac{6}{5} \) правимо две, четири и шест петина корака у негативном смеру.
Ако разломке треба представити на истој бројевној правој, а имају различите имениоце, прво их сведемо на заједнички именилац (најмањи заједнички садржалац имениоца — НЗС), па онда бирамо колико ће делова имати јединична дуж.
Представимо \( -\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{1}{3},\ -\dfrac{4}{3} \) и \( 1\dfrac{1}{2} \). НЗС бројева \( 2,\ 3,\ 6 \) је \( 6 \), па све разломке проширимо на именилац \( 6 \):
\[ -\frac{1}{2}=-\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}=-\frac{3}{6},\qquad -\frac{1}{3}=-\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}=-\frac{2}{6} \]
\[ -\frac{4}{3}=-\frac{4\cdot 2}{3\cdot 2}=-\frac{8}{6},\qquad 1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{3\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{9}{6} \]
Сада јединичну дуж делимо на \( 6 \) делова (шестине) и лако их постављамо на бројевну праву.
Ако је број дат у децималном запису, прво га запишемо у облику разломка (количника), а затим га представимо као сваки други разломак.
| Децимални број | Разломак |
|---|---|
| \( 0{,}25 \) | \( \dfrac{1}{4} \) |
| \( -0{,}25 \) | \( -\dfrac{1}{4} \) |
| \( -0{,}5 \) | \( -\dfrac{1}{2} \) |
| \( -0{,}75 \) | \( -\dfrac{3}{4} \) |
На пример, \( 0{,}25=\dfrac{1}{4} \) значи да јединичну дуж делимо на \( 4 \) дела и направимо један корак у позитивном смеру.
Ако је тачка већ означена на бројевној правој, њен број одређујемо тако што видимо на колико делова је подељена јединична дуж и колико корака је тачка удаљена од координатног почетка (и у ком смеру).
Са слике очитавамо: тачка \( A \) одговара броју \( 0{,}5=\dfrac{1}{2} \); \( B \) броју \( -0{,}75=-\dfrac{3}{4} \); \( C \) броју \( 1{,}25=1\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4} \); \( D \) броју \( -1{,}25=-1\dfrac{1}{4}=-\dfrac{5}{4} \); \( E \) броју \( -1{,}75=-1\dfrac{3}{4}=-\dfrac{7}{4} \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Којим бројевима одговарају тачке \( O \), \( I \), \( B \) и \( C \) на бројевној правој из уводног дела (Слика 1)?
Тачка \( O \) је координатни почетак, па јој одговара број \( 0 \). Тачки \( I \) одговара број \( 1 \).
Тачка \( B \) је пола корака десно од нуле, па јој одговара \( \dfrac{1}{2} \).
Тачка \( C \) је пола корака лево од нуле, па јој одговара \( -\dfrac{1}{2} \).
Одговор: \( O(0) \), \( I(1) \), \( B\!\left(\dfrac{1}{2}\right) \), \( C\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) \).
Тачка \( B \) је пола корака десно од нуле, па јој одговара \( \dfrac{1}{2} \).
Тачка \( C \) је пола корака лево од нуле, па јој одговара \( -\dfrac{1}{2} \).
Одговор: \( O(0) \), \( I(1) \), \( B\!\left(\dfrac{1}{2}\right) \), \( C\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) \).
Средњи задатак: Представи на истој бројевној правој бројеве \( \dfrac{1}{5},\ -\dfrac{2}{5},\ \dfrac{3}{5},\ -\dfrac{4}{5} \) и \( \dfrac{6}{5} \). Опиши поступак.
Сви бројеви имају именилац \( 5 \), па јединичну дуж делимо на пет једнаких делова (петине).
- \( \dfrac{1}{5} \): један корак у позитивном смеру;
- \( \dfrac{3}{5} \): три корака у позитивном смеру;
- \( \dfrac{6}{5} \): шест корака у позитивном смеру (то је мало десно од \( 1 \));
- \( -\dfrac{2}{5} \): два корака у негативном смеру;
- \( -\dfrac{4}{5} \): четири корака у негативном смеру.
Тежак задатак: Представи на истој бројевној правој бројеве \( -\dfrac{1}{2},\ \dfrac{5}{4} \) и \( -\dfrac{7}{8} \) тако што ћеш их прво свести на исти именилац.
Имениоци су \( 2,\ 4 \) и \( 8 \). Њихов НЗС је \( 8 \), па све разломке проширимо на именилац \( 8 \):
\[ -\frac{1}{2}=-\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=-\frac{4}{8},\qquad \frac{5}{4}=\frac{5\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{10}{8},\qquad -\frac{7}{8}=-\frac{7}{8} \]
Јединичну дуж делимо на осам делова (осмине).
- \( -\dfrac{4}{8} \): четири корака у негативном смеру (то је \( -\dfrac{1}{2} \));
- \( -\dfrac{7}{8} \): седам корака у негативном смеру;
- \( \dfrac{10}{8} \): десет корака у позитивном смеру (то је \( 1\dfrac{2}{8}=1\dfrac{1}{4} \), мало десно од \( 1 \)).
