Најважније из лекције
Цео број може бити позитиван, негативан или нула. Негативни цели бројеви \( \mathbb{Z}^- = \{-1, -2, -3, \dots\} \) имају знак минус \( (-) \), позитивни цели бројеви \( \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\} \) (то су природни бројеви) имају знак плус \( (+) \), а нула није ни позитивна ни негативна \( (+0 = -0 = 0) \). Скуп целих бројева је \( \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+ \), при чему је \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \) (на пример \( -5 \) је цео, али није природан број). Целе бројеве представљамо тачкама на бројевној правој: одабере се координатни почетак \( O \) са координатом \( 0 \) и тачка \( I \) са координатом \( 1 \), чиме је одређена јединична дуж \( OI \), а смер од \( O \) ка \( I \) је позитиван.
Негативни цели бројеви јесу бројеви \( -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \dots \) Скуп негативних целих бројева обележава се са \( \mathbb{Z}^- \).
\[ \mathbb{Z}^- = \{\,-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \dots\,\} \]
Знак негативних целих бројева је минус \( (-) \). Њиме бележимо величине испод неке договорене границе, на пример температуру испод нуле: \( -3\,^\circ\mathrm{C} \).
Позитивни цели бројеви јесу природни бројеви. Скуп позитивних целих бројева обележава се са \( \mathbb{Z}^+ \).
\[ \mathbb{Z}^+ = \{\,1,\ 2,\ 3,\ \dots\,\} \]
Знак позитивних целих бројева је плус \( (+) \). Он се не мора писати, па важи: \( +1 = 1,\quad +2 = 2,\quad +3 = 3,\ \dots \)
Нула није ни позитиван ни негативан цео број.
\[ +0 = -0 = 0 \]
Ако је знак броја плус \( (+) \), онда је број позитиван или је нула. Ако је знак броја минус \( (-) \), онда је број негативан.
Скуп целих бројева \( \mathbb{Z} \) јесте унија скупова \( \mathbb{Z}^- \), \( \{0\} \) и \( \mathbb{Z}^+ \).
\[ \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+ \]
Цели бројеви јесу позитивни и негативни цели бројеви и нула:
\[ \mathbb{Z} = \{\,\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots\,\} \]
Сваки природан број је истовремено и цео број, па је скуп природних бројева \( \mathbb{N} \) подскуп скупа целих бројева: \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \). Обратно не важи — постоје цели бројеви који нису природни. На пример, \( -5 \) је цео број, али није природан.
Целе бројеве представљамо тачкама на правој. Правa се у бројевну праву претвара у четири корака:
- Нека је \( p \) произвољна права.
- На правој \( p \) одабери произвољну тачку \( O \) и придружи јој број \( 0 \). Тачка \( O \) има координату \( 0 \) и зове се координатни почетак.
- На правој \( p \) одабери тачку \( I \) различиту од \( O \) и придружи јој број \( 1 \). Дуж \( OI \) је јединична дуж.
- Смер од тачке \( O \) ка тачки \( I \) јесте позитиван и означавамо га стрелицом. Права \( p \) тако постаје бројевна права.
Смер који је супротан позитивном смеру јесте негативан смер.
Температуре можемо записати целим бројевима: изнад нуле позитивним, испод нуле негативним, а тачно нула бројем \( 0 \). У табели су приказане температуре из временске прогнозе за осам градова.
| Град | Температура |
|---|---|
| Београд | \( 0\,^\circ\mathrm{C} \) |
| Крагујевац | \( 2\,^\circ\mathrm{C} \) |
| Неготин | \( 2\,^\circ\mathrm{C} \) |
| Ниш | \( -3\,^\circ\mathrm{C} \) |
| Нови Сад | \( -3\,^\circ\mathrm{C} \) |
| Приштина | \( -2\,^\circ\mathrm{C} \) |
| Суботица | \( -4\,^\circ\mathrm{C} \) |
| Ужице | \( 1\,^\circ\mathrm{C} \) |
Београд има \( 0\,^\circ\mathrm{C} \), а нула није ни позитиван ни негативан број — зато Београд није ни у једном од два скупа.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Из скупа бројева \( \{\,-33,\ 13,\ -13,\ 0,\ 3,\ -33\,\} \) издвој оне који припадају скупу \( \mathbb{Z}^- \) (негативни цели бројеви).
Скупу \( \mathbb{Z}^- \) припадају само бројеви са знаком минус.
Проверавамо редом: \( -33 \) (негативан), \( 13 \) (позитиван), \( -13 \) (негативан), \( 0 \) (није ни позитиван ни негативан), \( 3 \) (позитиван), \( -33 \) (негативан).
Одговор: \( -33,\ -13,\ -33 \), то јест бројеви \( -33 \) и \( -13 \).
Проверавамо редом: \( -33 \) (негативан), \( 13 \) (позитиван), \( -13 \) (негативан), \( 0 \) (није ни позитиван ни негативан), \( 3 \) (позитиван), \( -33 \) (негативан).
Одговор: \( -33,\ -13,\ -33 \), то јест бројеви \( -33 \) и \( -13 \).
Средњи задатак: Погледај температуре из Табеле 1.1. У којим је градовима температура приказана позитивним целим бројем, а у којим негативним целим бројем?
Позитивни цели бројеви су они већи од нуле, а негативни они мањи од нуле. Температуру \( 0\,^\circ\mathrm{C} \) (Београд) не сврставамо ни у једну групу јер нула није ни позитивна ни негативна.
Позитивна температура: Ужице \( (1\,^\circ\mathrm{C}) \), Крагујевац \( (2\,^\circ\mathrm{C}) \), Неготин \( (2\,^\circ\mathrm{C}) \).
Негативна температура: Приштина \( (-2\,^\circ\mathrm{C}) \), Ниш \( (-3\,^\circ\mathrm{C}) \), Нови Сад \( (-3\,^\circ\mathrm{C}) \), Суботица \( (-4\,^\circ\mathrm{C}) \).
Одговор: а) позитивна — у Ужицу, Крагујевцу и Неготину; б) негативна — у Суботици, Новом Саду, Нишу и Приштини.
Позитивна температура: Ужице \( (1\,^\circ\mathrm{C}) \), Крагујевац \( (2\,^\circ\mathrm{C}) \), Неготин \( (2\,^\circ\mathrm{C}) \).
Негативна температура: Приштина \( (-2\,^\circ\mathrm{C}) \), Ниш \( (-3\,^\circ\mathrm{C}) \), Нови Сад \( (-3\,^\circ\mathrm{C}) \), Суботица \( (-4\,^\circ\mathrm{C}) \).
Одговор: а) позитивна — у Ужицу, Крагујевцу и Неготину; б) негативна — у Суботици, Новом Саду, Нишу и Приштини.
Тежак задатак: Одреди координате тачака \( E \), \( F \) и \( G \) које су приказане на бројевној правој.
Крајњој левој деоби придружен је број \( -7 \), а крајњој десној број \( 2 \); суседне деобе разликују се за \( 1 \).
Тачка \( F \) стоји изнад деобе која је две јединице десно од \( -7 \), то јест на \( -5 \).
Тачка \( E \) стоји на средини, тамо где је координатни почетак \( 0 \).
Тачка \( G \) је једну јединицу десно од нуле, то јест на \( 1 \).
Одговор: \( E(0) \), \( F(-5) \), \( G(1) \).
Тачка \( F \) стоји изнад деобе која је две јединице десно од \( -7 \), то јест на \( -5 \).
Тачка \( E \) стоји на средини, тамо где је координатни почетак \( 0 \).
Тачка \( G \) је једну јединицу десно од нуле, то јест на \( 1 \).
Одговор: \( E(0) \), \( F(-5) \), \( G(1) \).
