Најважније из лекције
Једначине у којима се непозната множи или дели бројем решавамо тако што обе стране помножимо (или поделимо) бројем различитим од нуле да бисмо непознату оставили саму. На пример, из \( 2\cdot x = 6 \) делимо са \( 2 \) и добијамо \( x = 3 \). Ослањамо се на особине множења рационалних бројева: \( a\cdot 1 = a \) и \( a\cdot 0 = 0 \). Због особине \( x\cdot 0 = 0 \), једначина \( x\cdot 0 = -2{,}9 \) нема решење, док једначину \( 0\cdot x = 0 \) задовољава сваки рационални број. Текстуалне задатке решавамо по корацима: одредимо познате величине, уведемо ознаку за непознату, формирамо и решимо једначину, проверимо решење и одговоримо на питање.
Једначину у којој се непозната множи или дели неким бројем решавамо тако што обе стране једначине помножимо бројем који нам помаже да непознату оставимо саму (изолујемо је).
Обе стране једначине смемо помножити било којим бројем који је различит од нуле. Множење нулом није дозвољено, јер тада увек добијамо \( 0 = 0 \) и не можемо доћи до решења.
У пракси, ако је непозната помножена неким бројем, обе стране делимо тим бројем (што је исто што и множење његовом реципрочном вредношћу).
Да бисмо непознату \( x \) оставили саму, обе стране једначине делимо са \( 2 \) (множимо са \( \tfrac{1}{2} \)):
\[ 2\cdot x = 6 \quad / :2 \]
\[ \frac{2\cdot x}{2} = \frac{6}{2} \]
\[ x = 3 \]
Дакле, број \( 3 \) је решење једначине \( 2\cdot x = 6 \).
Исти поступак можемо записати и као множење разломком: \( \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot x = \tfrac{1}{2}\cdot 6 \), одакле поново добијамо \( x = 3 \).
При решавању једначина ослањамо се на познате особине множења рационалних бројева.
За сваки \( a \in Q \) важи: \( a\cdot 1 = 1\cdot a = a \). (Множење јединицом не мења број.)
За сваки \( a \in Q \) важи: \( a\cdot 0 = 0\cdot a = 0 \). (Множење нулом увек даје нулу.)
Ако је производ два броја једнак нули, тада је бар један чинилац једнак нули: ако је \( a\cdot b = 0 \) и \( a \neq 0 \), онда је \( b = 0 \).
Због особине \( x\cdot 0 = 0 \), једначине у којима се непозната множи нулом решавамо посебно — оне често немају решење или их задовољава сваки рационални број.
а) \( x\cdot 0 = -2{,}9 \)
За сваки \( x \in Q \) важи \( x\cdot 0 = 0 \). Дакле, лева страна је увек \( 0 \), а не може бити једнака \( -2{,}9 \).
Не постоји \( x \in Q \) за који је \( x\cdot 0 = -2{,}9 \). Једначина нема решење.
За сваки \( x \in Q \) важи \( x\cdot 0 = 0 \). Дакле, лева страна је увек \( 0 \), а не може бити једнака \( -2{,}9 \).
Не постоји \( x \in Q \) за који је \( x\cdot 0 = -2{,}9 \). Једначина нема решење.
б) \( 0\cdot x = 0 \)
За сваки \( x \in Q \) важи \( 0\cdot x = 0 \). Дакле, свака вредност \( x \) задовољава ову једначину.
Решење је сваки рационални број.
За сваки \( x \in Q \) важи \( 0\cdot x = 0 \). Дакле, свака вредност \( x \) задовољава ову једначину.
Решење је сваки рационални број.
Текстуалне задатке решавамо по устаљеном поступку у неколико корака.
| Корак | Шта радимо |
|---|---|
| 1. | Одреди које су величине познате. |
| 2. | Одреди непознату величину и уведи ознаку за њу. |
| 3. | Формирај одговарајућу једначину. |
| 4. | Реши једначину. |
| 5. | Провери да ли решење одговара условима задатка. |
| 6. | Одговори на питање постављено у задатку. |
Задаци за вежбање
Лак задатак: Реши једначину \( 3\cdot x = -0{,}21 \).
Обе стране делимо са \( 3 \):
\[ 3\cdot x = -0{,}21 \quad / :3 \]
\[ x = \frac{-0{,}21}{3} = -0{,}07 \]
Провера: \( 3\cdot(-0{,}07) = -0{,}21 \). \(\checkmark\)
Одговор: \( x = -0{,}07 \).
Одговор: \( x = -0{,}07 \).
Средњи задатак: Реши једначину \( x\cdot 0 = -2{,}9 \).
За сваки рационални број \( x \) важи \( x\cdot 0 = 0 \), па је лева страна једначине увек једнака \( 0 \).
Пошто \( 0 \neq -2{,}9 \), не постоји ниједан \( x \in Q \) за који је \( x\cdot 0 = -2{,}9 \).
Одговор: Једначина нема решење.
Пошто \( 0 \neq -2{,}9 \), не постоји ниједан \( x \in Q \) за који је \( x\cdot 0 = -2{,}9 \).
Одговор: Једначина нема решење.
Тежак задатак: Реши једначину \( 3{,}2 - 2\cdot(2{,}1 - 0{,}9\cdot y) = 0{,}8 \).
Прво одузмемо \( 3{,}2 \) са обе стране (заграду не дирамо):
\[ -2\cdot(2{,}1 - 0{,}9\cdot y) = 0{,}8 - 3{,}2 = -2{,}4 \]
Обе стране делимо са \( -2 \):
\[ 2{,}1 - 0{,}9\cdot y = \frac{-2{,}4}{-2} = 1{,}2 \]
Одузмемо \( 2{,}1 \) са обе стране:
\[ -0{,}9\cdot y = 1{,}2 - 2{,}1 = -0{,}9 \]
Обе стране делимо са \( -0{,}9 \):
\[ y = \frac{-0{,}9}{-0{,}9} = 1 \]
Провера: \( 3{,}2 - 2\cdot(2{,}1 - 0{,}9\cdot 1) = 3{,}2 - 2\cdot 1{,}2 = 3{,}2 - 2{,}4 = 0{,}8 \). \(\checkmark\)
Одговор: \( y = 1 \).
Одговор: \( y = 1 \).
