Најважније из лекције
Све чланове једначине пребацити на једну страну, тако да на другој страни остане само нула (нпр. \( P(x) = 0 \)).
Полином раставити на чиниоце — издвајањем заједничког чиниоца, помоћу разлике квадрата \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \) или квадрата бинома \( A^2 \pm 2AB + B^2 = (A \pm B)^2 \).
Применити својство производа једнаког нули: \( A \cdot B = 0 \iff A = 0 \text{ или } B = 0 \) — сваки чинилац изједначити са нулом.
Решити добијене једноставне једначине. Код геометријских задатака одбацити негативна решења (дужина не може бити негативна).
За производ реалних бројева важи: ако је производ једнак нули, онда је бар један од чинилаца једнак нули.
\[ A \cdot B = 0 \iff A = 0 \text{ или } B = 0 \]
Ово својство омогућава да се сложеније једначине, након растављања полинома на чиниоце, сведу на више једноставних једначина.
Решавање једначине \( (x + 1) \cdot (x - 1) = 0 \):
\( x + 1 = 0 \) или \( x - 1 = 0 \)
\( x = -1 \) или \( x = 1 \)
\( x + 1 = 0 \) или \( x - 1 = 0 \)
\( x = -1 \) или \( x = 1 \)
Примена својства дистрибутивности множења према сабирању користи се да би се полином записао као производ, издвајањем највећег заједничког чиниоца испред заграде.
Решавање једначине \( 5x^2 - 10x = 0 \):
\( 5x \cdot (x - 2) = 0 \)
\( 5x = 0 \) или \( x - 2 = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x = 2 \)
\( 5x \cdot (x - 2) = 0 \)
\( 5x = 0 \) или \( x - 2 = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x = 2 \)
Реши једначину: \( 7x^3 - 7x^2 = 0 \)
Издвајамо заједнички чинилац \( 7x^2 \):
\( 7x^2 \cdot (x - 1) = 0 \)
\( 7x^2 = 0 \) или \( x - 1 = 0 \)
\( x^2 = 0 \) или \( x = 1 \)
Решење: \( x = 0 \) или \( x = 1 \).
\( 7x^2 \cdot (x - 1) = 0 \)
\( 7x^2 = 0 \) или \( x - 1 = 0 \)
\( x^2 = 0 \) или \( x = 1 \)
Решење: \( x = 0 \) или \( x = 1 \).
\[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \]
Решавање једначине \( x^2 - 25 = 0 \):
\( x^2 - 5^2 = 0 \)
\( (x + 5)(x - 5) = 0 \)
\( x + 5 = 0 \) или \( x - 5 = 0 \)
\( x = -5 \) или \( x = 5 \)
\( x^2 - 5^2 = 0 \)
\( (x + 5)(x - 5) = 0 \)
\( x + 5 = 0 \) или \( x - 5 = 0 \)
\( x = -5 \) или \( x = 5 \)
Реши једначину: \( 3 - x^2 = 0 \)
Број 3 записујемо као \( (\sqrt{3})^2 \):
\( (\sqrt{3})^2 - x^2 = 0 \)
\( (\sqrt{3} + x)(\sqrt{3} - x) = 0 \)
\( \sqrt{3} + x = 0 \) или \( \sqrt{3} - x = 0 \)
Решење: \( x = -\sqrt{3} \) или \( x = \sqrt{3} \).
\( (\sqrt{3})^2 - x^2 = 0 \)
\( (\sqrt{3} + x)(\sqrt{3} - x) = 0 \)
\( \sqrt{3} + x = 0 \) или \( \sqrt{3} - x = 0 \)
Решење: \( x = -\sqrt{3} \) или \( x = \sqrt{3} \).
\[ A^2 \pm 2AB + B^2 = (A \pm B)^2 \]
Када се полином трансформише у квадрат бинома једнак нули, добија се јединствено решење (двоструки корен).
Решавање једначине \( x^2 + 6x + 9 = 0 \):
\( x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = 0 \)
\( (x + 3)^2 = 0 \)
\( x + 3 = 0 \)
\( x = -3 \)
\( x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = 0 \)
\( (x + 3)^2 = 0 \)
\( x + 3 = 0 \)
\( x = -3 \)
Реши једначину: \( 4x^2 - 4x + 1 = 0 \)
Препознајемо квадрат разлике:
\( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 0 \)
\( (2x - 1)^2 = 0 \)
\( 2x - 1 = 0 \)
\( 2x = 1 \)
Решење: \( x = \frac{1}{2} \).
\( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 0 \)
\( (2x - 1)^2 = 0 \)
\( 2x - 1 = 0 \)
\( 2x = 1 \)
Решење: \( x = \frac{1}{2} \).
Када се једначине користе за решавање геометријских проблема (попут одређивања дужине странице), добијена решења која су негативни бројеви морају се одбацити, јер дужина не може бити негативна вредност.
Ако квадрат странице \( a \) има два пута мању површину од правоугаоника страница \( a \) и \( a+6 \), постављамо једначину:
\( 2a^2 - a(a + 6) = 0 \)
\( a^2 - 6a = 0 \)
\( a(a - 6) = 0 \)
Решења су \( a = 0 \) (немогуће за дужину) и \( a = 6 \). Страница квадрата је \( 6 \text{ cm} \).
\( 2a^2 - a(a + 6) = 0 \)
\( a^2 - 6a = 0 \)
\( a(a - 6) = 0 \)
Решења су \( a = 0 \) (немогуће за дужину) и \( a = 6 \). Страница квадрата је \( 6 \text{ cm} \).
Задаци за вежбање
Лак: Реши једначину растављањем на чиниоце: \( 5x^3 - 5x = 0 \).
Прво издвајамо заједнички чинилац, а затим примењујемо разлику квадрата:
\( 5x(x^2 - 1) = 0 \)
\( 5x(x + 1)(x - 1) = 0 \)
\( 5x = 0 \) или \( x + 1 = 0 \) или \( x - 1 = 0 \)
Одговор: Решења су \( x = 0 \), \( x = -1 \), \( x = 1 \).
\( 5x(x^2 - 1) = 0 \)
\( 5x(x + 1)(x - 1) = 0 \)
\( 5x = 0 \) или \( x + 1 = 0 \) или \( x - 1 = 0 \)
Одговор: Решења су \( x = 0 \), \( x = -1 \), \( x = 1 \).
Средњи: Реши једначину: \( (x - 10)^2 - 121 = 0 \).
Примењујемо разлику квадрата где је \( A = x - 10 \), а \( B = 11 \):
\( (x - 10)^2 - 11^2 = 0 \)
\( (x - 10 + 11)(x - 10 - 11) = 0 \)
\( (x + 1)(x - 21) = 0 \)
\( x + 1 = 0 \) или \( x - 21 = 0 \)
Одговор: Решења су \( x = -1 \) или \( x = 21 \).
\( (x - 10)^2 - 11^2 = 0 \)
\( (x - 10 + 11)(x - 10 - 11) = 0 \)
\( (x + 1)(x - 21) = 0 \)
\( x + 1 = 0 \) или \( x - 21 = 0 \)
Одговор: Решења су \( x = -1 \) или \( x = 21 \).
Тежак: Разлика квадрата два узастопна парна природна броја је 84. Који су то бројеви?
Нека су бројеви \( 2k+2 \) (већи) и \( 2k \) (мањи).
\( (2k + 2)^2 - (2k)^2 = 84 \)
Примењујемо разлику квадрата:
\( (2k + 2 + 2k)(2k + 2 - 2k) = 84 \)
\( (4k + 2) \cdot 2 = 84 \)
\( 4k + 2 = 42 \)
\( 4k = 40 \)
\( k = 10 \)
Мањи број је \( 2k = 20 \), а већи \( 2k + 2 = 22 \).
Одговор: То су бројеви 20 и 22.
\( (2k + 2)^2 - (2k)^2 = 84 \)
Примењујемо разлику квадрата:
\( (2k + 2 + 2k)(2k + 2 - 2k) = 84 \)
\( (4k + 2) \cdot 2 = 84 \)
\( 4k + 2 = 42 \)
\( 4k = 40 \)
\( k = 10 \)
Мањи број је \( 2k = 20 \), а већи \( 2k + 2 = 22 \).
Одговор: То су бројеви 20 и 22.
Тежак: Страница квадрата А је за \( 2 \text{ cm} \) краћа од странице квадрата Б. Површине тих квадрата разликују се за \( 20 \text{ cm}^2 \). Одреди дужине страница ових квадрата.
Нека је страница квадрата А једнака \( x \). Страница квадрата Б је \( x + 2 \).
\( (x + 2)^2 - x^2 = 20 \)
\( (x + 2 + x)(x + 2 - x) = 20 \)
\( (2x + 2) \cdot 2 = 20 \)
\( 2x + 2 = 10 \)
\( 2x = 8 \Rightarrow x = 4 \)
Одговор: Страница квадрата А је \( 4 \text{ cm} \), а квадрата Б је \( 6 \text{ cm} \).
\( (x + 2)^2 - x^2 = 20 \)
\( (x + 2 + x)(x + 2 - x) = 20 \)
\( (2x + 2) \cdot 2 = 20 \)
\( 2x + 2 = 10 \)
\( 2x = 8 \Rightarrow x = 4 \)
Одговор: Страница квадрата А је \( 4 \text{ cm} \), а квадрата Б је \( 6 \text{ cm} \).
