III.16. Примена Растављања Полинома На Чиниоце У Решавању Једначина

а) \( 7 - 700x^2 = 0 \)

1. Издвајање заједничког чиниоца испред заграде

Издвајамо заједнички чинилац \( 7 \): \[ 7(1 - 100x^2) = 0 \]

2. Примена формуле за разлику квадрата

Израз у загради представља разлику квадрата \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \), где је \( A = 1 \) и \( B = 10x \): \[ 7(1^2 - (10x)^2) = 0 \] \[ 7(1 - 10x)(1 + 10x) = 0 \]

3. Изједначавање чинилаца са нулом и решавање

Производ је једнак нули када је бар један од чинилаца једнак нули: \[ 1 - 10x = 0 \quad \text{или} \quad 1 + 10x = 0 \] \[ 10x = 1 \quad \text{или} \quad 10x = -1 \] \[ x = \frac{1}{10} \quad \text{или} \quad x = -\frac{1}{10} \]

б) \( 3x^2 - 48 = 0 \)

1. Издвајање заједничког чиниоца испред заграде

Издвајамо заједнички чинилац \( 3 \): \[ 3(x^2 - 16) = 0 \]

2. Примена формуле за разлику квадрата

Израз у загради растављамо као разлику квадрата: \[ 3(x^2 - 4^2) = 0 \] \[ 3(x - 4)(x + 4) = 0 \]

3. Изједначавање чинилаца са нулом и решавање

\[ x - 4 = 0 \quad \text{или} \quad x + 4 = 0 \] \[ x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4 \]

в) \( 2x - 8x^3 = 0 \)

1. Издвајање заједничког чиниоца испред заграде

Издвајамо заједнички чинилац \( 2x \): \[ 2x(1 - 4x^2) = 0 \]

2. Примена формуле за разлику квадрата

Израз у загради растављамо као разлику квадрата: \[ 2x(1^2 - (2x)^2) = 0 \] \[ 2x(1 - 2x)(1 + 2x) = 0 \]

3. Изједначавање чинилаца са нулом и решавање

\[ 2x = 0 \quad \text{или} \quad 1 - 2x = 0 \quad \text{или} \quad 1 + 2x = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 2x = 1 \quad \text{или} \quad 2x = -1 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x = -\frac{1}{2} \]

г) \( (x - 3)^2 - 169 = 0 \)

1. Примена формуле за разлику квадрата

Како је \( 169 = 13^2 \), користимо формулу за разлику квадрата: \[ (x - 3)^2 - 13^2 = 0 \] \[ ((x - 3) - 13)((x - 3) + 13) = 0 \] \[ (x - 16)(x + 10) = 0 \]

2. Изједначавање чинилаца са нулом и решавање

\[ x - 16 = 0 \quad \text{или} \quad x + 10 = 0 \] \[ x = 16 \quad \text{или} \quad x = -10 \]

д) \( 50x^2 - 60x + 18 = 0 \)

1. Издвајање заједничког чиниоца испред заграде

Издвајамо заједнички чинилац \( 2 \): \[ 2(25x^2 - 30x + 9) = 0 \]

2. Примена формуле за квадрат бинома

Уочавамо квадрат бинома \( A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2 \), где је \( A = 5x \) и \( B = 3 \): \[ 2((5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2) = 0 \] \[ 2(5x - 3)^2 = 0 \]

3. Изједначавање са нулом и решавање

\[ 5x - 3 = 0 \] \[ 5x = 3 \] \[ x = \frac{3}{5} \]

ђ) \( x^3 + 4x^2 + 4x = 0 \)

1. Издвајање заједничког чиниоца испред заграде

Издвајамо заједнички чинилац \( x \): \[ x(x^2 + 4x + 4) = 0 \]

2. Примена формуле за квадрат бинома

Израз у загради представља квадрат збира: \[ x(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) = 0 \] \[ x(x + 2)^2 = 0 \]

3. Изједначавање чинилаца са нулом и решавање

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad (x + 2)^2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2 \]

а)

\( 7(1 - 100x^2) = 0 \Rightarrow 7(1 - 10x)(1 + 10x) = 0 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{10} \)

б)

\( 3(x^2 - 16) = 0 \Rightarrow 3(x - 4)(x + 4) = 0 \Rightarrow x = \pm 4 \)

в)

\( 2x(1 - 4x^2) = 0 \Rightarrow 2x(1 - 2x)(1 + 2x) = 0 \Rightarrow x \in \{-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\} \)

г)

\( (x - 3 - 13)(x - 3 + 13) = 0 \Rightarrow (x - 16)(x + 10) = 0 \Rightarrow x = 16 \text{ или } x = -10 \)

д)

\( 2(25x^2 - 30x + 9) = 0 \Rightarrow 2(5x - 3)^2 = 0 \Rightarrow 5x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5} \)

ђ)

\( x(x^2 + 4x + 4) = 0 \Rightarrow x(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = -2 \)