Најважније из лекције
- Основно правило: При дељењу степена истих основа, основа се преписује, а изложиоци се одузимају: \( a^m : a^n = a^{m-n} \).
- Невидљиви изложилац: Сваки број или слово без изложиоца заправо има изложилац 1 (нпр. \( y = y^1 \)). То је важно запамтити приликом одузимања.
- Више основа у разломку: Правило важи само за исте основе. Рачуна се одвојено део по део. Пример: \( \frac{x^4 \cdot y^5}{x^2 \cdot y^2} = x^2 \cdot y^3 \).
Количник два степена који имају исту основу израчунава се тако што се основа препише, а изложиоци (степени) дељеника и делиоца се одузму.
\[ a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]
Услов: \( a \in \mathbb{R}, a \neq 0, m, n \in \mathbb{N} \) и \( m > n \)
Основа увек мора бити различита од нуле! Такође, када број или променљива немају написан изложилац, подразумева се да је изложилац број 1 (нпр. \( x = x^1 \)).
Уместо расписивања \( \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} \), користимо правило:
\[ 2^5 : 2^3 = 2^{5-3} = 2^2 = 4 \]
Упрости израз: \( x^6 : x \).
Пошто \( x \) можемо записати као \( x^1 \), примењујемо правило:
\[ x^6 : x^1 = x^{6-1} = x^5 \]
Када израз у облику разломка садржи више различитих основа (различите бројеве или променљиве), правило дељења примењујемо искључиво на степене који имају потпуно исту основу.
Групиши степене са истим основама у бројиоцу и имениоцу.
Примени правило одузимања изложилаца (\( m - n \)) за сваку групу посебно.
Помножи добијене резултате.
Израчунавање израза са основама 3 и 5:
\[ \frac{3^6 \cdot 5^5}{3^5 \cdot 5^3} = \frac{3^6}{3^5} \cdot \frac{5^5}{5^3} = 3^{6-5} \cdot 5^{5-3} = 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75 \]
Упрости дати алгебарски израз за \( a \neq 0, b \neq 0 \):
\[ \frac{a^5 \cdot b^4}{a^2 \cdot b} \]
Групишемо исте основе и одузимамо изложиоце:
\[ \frac{a^5}{a^2} \cdot \frac{b^4}{b^1} = a^{5-2} \cdot b^{4-1} = a^3 \cdot b^3 \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност следећег израза:
\[ 10^7 : 10^4 \]
Примењујемо правило одузимања изложилаца:
\[ 10^{7-4} = 10^3 = 1000 \]
Одговор: 1000
Средњи: Израчунај вредност израза са негативном основом:
\[ \frac{(-2)^8 : (-2)^4}{(-2)^3} \]
Прво решавамо дељење у бројиоцу:
\[ (-2)^8 : (-2)^4 = (-2)^{8-4} = (-2)^4 \]
Затим добијени резултат делимо са имениоцем:
\[ \frac{(-2)^4}{(-2)^3} = (-2)^{4-3} = (-2)^1 = -2 \]
Одговор: -2
Тежак: Израчунај вредност израза који комбинује множење и дељење степена чија је основа корен:
\[ \frac{(\sqrt{7})^4 \cdot (\sqrt{7})^5}{(\sqrt{7})^{10} : (\sqrt{7})^3} \]
Прво сређујемо бројилац (код множења сабирамо изложиоце):
\[ (\sqrt{7})^4 \cdot (\sqrt{7})^5 = (\sqrt{7})^{4+5} = (\sqrt{7})^9 \]
Затим сређујемо именилац (код дељења одузимамо изложиоце):
\[ (\sqrt{7})^{10} : (\sqrt{7})^3 = (\sqrt{7})^{10-3} = (\sqrt{7})^7 \]
На крају делимо добијени бројилац и именилац:
\[ \frac{(\sqrt{7})^9}{(\sqrt{7})^7} = (\sqrt{7})^{9-7} = (\sqrt{7})^2 \]
Квадрат и квадратни корен се поништавају:
\[ (\sqrt{7})^2 = 7 \]
Одговор: 7
