III.3. Дељење Степена Једнаких Основа

Да бисмо упростили дате изразе и представили их у облику степена, користићемо основна правила за операције са степенима једнаких основа: 1. Множење степена: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) (изложиоци се сабирају). 2. Дељење степена: \( a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (изложиоци се одузимају). Такође, важно је запамтити да је \( a = a^1 \).

а) \( \frac{a^{20} : a}{a^{10} : a^2} \)

Прво ћемо упростити изразе у бројиоцу и имениоцу користећи правило дељења: - Бројилац: \( a^{20} : a^1 = a^{20-1} = a^{19} \) - Именилац: \( a^{10} : a^2 = a^{10-2} = a^8 \) Сада делимо добијене резултате: \[ \frac{a^{19}}{a^8} = a^{19-8} = a^{11} \]

б) \( \frac{a^{20} : a^2}{a^4 \cdot a^3} \)

Упростимо појединачне делове: - Бројилац: \( a^{20} : a^2 = a^{20-2} = a^{18} \) - Именилац: \( a^4 \cdot a^3 = a^{4+3} = a^7 \) Коначно дељење: \[ \frac{a^{18}}{a^7} = a^{18-7} = a^{11} \]

в) \( (b^{15} : b^4) : (b^6 : b^3) \)

Прво израчунавамо вредности унутар заграда: - Прва заграда: \( b^{15} : b^4 = b^{15-4} = b^{11} \) - Друга заграда: \( b^6 : b^3 = b^{6-3} = b^3 \) Затим извршимо дељење резултата: \[ b^{11} : b^3 = b^{11-3} = b^8 \]

г) \( \frac{a^5 \cdot b^6 \cdot c^7}{a^2 \cdot b^2 \cdot c^2} \)

Овај израз решавамо тако што делимо степене са истим основама: - За основу \( a \): \( a^5 : a^2 = a^{5-2} = a^3 \) - За основу \( b \): \( b^6 : b^2 = b^{6-2} = b^4 \) - За основу \( c \): \( c^7 : c^2 = c^{7-2} = c^5 \) Резултат је производ ових степена: \[ a^3 \cdot b^4 \cdot c^5 \]

д) \( \frac{b^5 \cdot (a^6 : a^4)}{a \cdot b^2} \)

Упростимо заграду у бројиоцу: \( a^6 : a^4 = a^2 \). Израз постаје: \( \frac{b^5 \cdot a^2}{a^1 \cdot b^2} \). Сада групишемо по основама: - За основу \( a \): \( a^2 : a^1 = a^{2-1} = a^1 = a \) - За основу \( b \): \( b^5 : b^2 = b^{5-2} = b^3 \) Коначни израз је: \[ a \cdot b^3 \]

ђ) \( \frac{(a^9 : a^4) \cdot (b^{10} : b^6) \cdot (c^{12} : c^4)}{(a^8 : a^5) \cdot (b^7 : b^5) \cdot (c^9 : c^3)} \)

Прво упростимо све заграде: - Бројилац: \( a^{9-4} \cdot b^{10-6} \cdot c^{12-4} = a^5 \cdot b^4 \cdot c^8 \) - Именилац: \( a^{8-5} \cdot b^{7-5} \cdot c^{9-3} = a^3 \cdot b^2 \cdot c^6 \) Сада поделимо одговарајуће основе: - \( a^5 : a^3 = a^2 \) - \( b^4 : b^2 = b^2 \) - \( c^8 : c^6 = c^2 \) Резултат је: \[ a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 \]

а) \( \frac{a^{19}}{a^8} = a^{11} \) б) \( \frac{a^{18}}{a^7} = a^{11} \) в) \( b^{11} : b^3 = b^8 \) г) \( a^{5-2} b^{6-2} c^{7-2} = a^3 b^4 c^5 \) д) \( \frac{a^2 b^5}{a b^2} = a b^3 \) ђ) \( \frac{a^5 b^4 c^8}{a^3 b^2 c^6} = a^2 b^2 c^2 \)