Који бројеви треба да замене знак \(\bigcirc\) тако да једнакости буду тачне? а) \((7 \cdot \bigcirc)^3 = 56^3\); б) \((\bigcirc \cdot 9)^4 = 72^4\); в) \((1,5 \cdot 6)^5 = \bigcirc^5\); г) \((\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4})^{\bigcirc} = (\frac{3}{8})^4\).

Да бисмо решили ове задатке, користићемо основно правило за степен производа: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \). Такође, користићемо чињеницу да ако су два степена са истим природним изложиоцем (различитим од нуле) једнака, онда морају бити једнаке и њихове основе (за позитивне основе). а) \( (7 \cdot \bigcirc)^3 = 56^3 \) У овом примеру, изложиоци на обе стране једнакости су једнаки (\( 3 \)). Да би једнакост била тачна, основе морају бити једнаке: \[ 7 \cdot \bigcirc = 56 \] Непознати чинил...

Израчунај: а) \((-1,2)^5 \cdot (-5)^5\); б) \(4^3 \cdot (-0,25)^3\); в) \((-0,03)^7 \cdot 100^7\); г) \((-3)^{25} \cdot (\frac{1}{3})^{25}\).

Да бисмо решили овај задатак, применићемо правило за множење степена једнаких изложилаца. Ово правило нам омогућава да помножимо основе, а заједнички изложилац задржимо. Формула гласи: \[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \] Ово је посебно корисно када су основе такве да њихов производ даје једноставан број (нпр. цео број или декадну јединицу). а) \((-1,2)^5 \cdot (-5)^5\) Приметимо да оба степена имају исти изложилац, а то је број 5. Применићемо формулу тако што ћемо помножити основе \( -1,2 \) и...

Израчунај: а) \(\frac{2^6 \cdot 5^6}{10^3}\); б) \(\frac{(-15)^{10}}{(-3)^{10} \cdot 5^{10}}\); в) \(\frac{(-1,5)^{10} \cdot (-4)^{10}}{2^9 \cdot 3^9}\); г) \(\frac{2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 8^{10}}{4^{14} \cdot 12^{14}}\).

Упрошћавање израза са степенима При решавању ових задатака користићемо основна правила за операције са степенима: 1. Множење степена једнаких изложилаца: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \). 2. Дељење степена једнаких основа: \( a^m : a^n = a^{m-n} \). 3. Степеновање степена: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). а) \( \frac{2^6 \cdot 5^6}{10^3} \) У бројиоцу имамо степене са истим изложиоцем (6), па их можемо груписати под заједнички степен: \[ \frac{2^6 \cdot 5^6}{10^3} = \frac{(2 \cdot 5)^6}{10^3}...

Нека су \(x, y\) и \(z\) реални бројеви такви да је \(x \neq 0, y \neq 0\) и \(z \neq 0\). Израчунај: а) \(\frac{(x \cdot y)^5}{x^2 \cdot y^2 \cdot x^3 \cdot y^3}\); б) \(\frac{x^4 \cdot y^4 \cdot (x \cdot y)^3}{x^7 \cdot y^7}\); в) \(\frac{x^2 \cdot (x \cdot y)^3 \cdot y^5 \cdot (x \cdot y)}{x^6 \c...

Да бисмо решили ове задатке, применићемо основна правила за операције са степенима: 1. Степен производа: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \). 2. Множење степена истих основа: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). 3. Дељење степена истих основа: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). а) \( \frac{(x \cdot y)^5}{x^2 \cdot y^2 \cdot x^3 \cdot y^3} \) Прво ћемо упростити бројилац применом правила за степен производа: \[ (x \cdot y)^5 = x^5 \cdot y^5 \] Затим ћемо упростити именилац груписањем и множењем степена...

Ања, Богдан, Вања и Грегор имали су задатак да израчунају производ \(3^4 \cdot 2^2\). Ањино решење: \(3^4 \cdot 2^2 = (3 \cdot 2)^{4+2} = 6^6 = 46656\). Богданово решење: \(3^4 \cdot 2^2 = (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 2) = 81 \cdot 4 = 324\). Вањино решење: \(3^4 \cdot 2^2 = 3^{1+2+1}...

Тачна вредност производа \( 3^4 \cdot 2^2 = 81 \cdot 4 = 324 \). Основе (\(3\) и \(2\)) су различите, а различити су и изложиоци (\(4\) и \(2\)), па се производ не може свести на један степен — рачуна се директно. а) Ко је тачно решио задатак Богдан је добио \( 81 \cdot 4 = 324 \), а Вања \( 18^2 = 324 \) (јер је \( 18^2 = (2 \cdot 3^2)^2 = 2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324 \)). Обојица су добила тачан резултат \( 324 \). Ања је погрешила јер је сабрала изложиоце различитих основа: \( (3 \cdot 2)...

Множење Степена Једнаких Изложилаца

Најважније из лекције

Основно правило: Када се множе степени са истим изложиоцима, основе се поможе, а изложилац остаје исти: \[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \] Практична примена: Ово правило олакшава рачунање. На пример, уместо да рачунамо огромне бројеве одвојено, можемо их прво помножити: \( 0,2^3 \cdot 5^3 = (0,2 \cdot 5)^3 = 1^3 = 1 \).
Степен производа: Правило ради и уназад, где се сваки чинилац у загради степенује: \( (xy)^4 = x^4 \cdot y^4 \).

Производ степена једнаких изложилаца јесте степен чија је основа једнака производу основа чинилаца, а изложилац једнак изложиоцима чинилаца.

За \( a, b \in \mathbb{R} \) и \( n \in \mathbb{N} \) важи: \[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]

Израчунавање производа:
\( 2^3 \cdot 7^3 = (2 \cdot 7)^3 = 14^3 \)
\( 0,001^3 \cdot (-1000)^3 = (0,001 \cdot (-1000))^3 = (-1)^3 = -1 \)

Израчунај вредност израза: \( (-4)^3 \cdot (-0,5)^3 \).

Примењујемо правило множења степена једнаких изложилаца:
\( (-4)^3 \cdot (-0,5)^3 = ((-4) \cdot (-0,5))^3 = 2^3 = 8 \)

Правило за множење степена једнаких изложилаца важи и у обрнутом смеру. Степен производа једнак је производу степена чинилаца.

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Примена на изразе са коренима и разломцима:
\( (2 \cdot \sqrt{5})^4 = 2^4 \cdot (\sqrt{5})^4 = 16 \cdot (\sqrt{5}^2)^2 = 16 \cdot 5^2 = 16 \cdot 25 = 400 \)
\( (\frac{1}{3} \cdot (-\sqrt{3}))^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (-\sqrt{3})^3 = \frac{1}{27} \cdot (-3\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{9} \)

Упрости израз: \( (-2x)^4 \).

Степен производа записујемо као производ степена:
\( (-2x)^4 = (-2)^4 \cdot x^4 = 16x^4 \)

За множење више од два степена једнаких изложилаца користе се својство комутативности (\(a \cdot b = b \cdot a\)) и својство асоцијативности (\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)) множења реалних бројева.
Ово значи да важи: \( a^n \cdot b^n \cdot c^n = (a \cdot b \cdot c)^n \).

Пажња: Не постоји опште правило за сабирање степена са једнаким изложиоцима! Дакле, \( a^n + b^n \neq (a + b)^n \).

Да ли је тачна једнакост \( 3^2 + 4^2 = (3 + 4)^2 \)?

Не, једнакост није тачна. Проверимо рачунањем:
Лева страна: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
Десна страна: \( (3 + 4)^2 = 7^2 = 49 \)
Како је \( 25 \neq 49 \), правило не важи за сабирање.

Задаци за вежбање

Лак: Израчунај вредност израза користећи правило за множење степена једнаких изложилаца: \( 5^4 \cdot 2^4 \)

\( 5^4 \cdot 2^4 = (5 \cdot 2)^4 = 10^4 = 10000 \)

Средњи: Израчунај вредност израза: \( \left(- \frac{3}{7}\right)^{10} \cdot \left(\frac{7}{6}\right)^{10} \)

Примењујемо правило множења основа:
\( \left(- \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{6}\right)^{10} \)
Скраћујемо разломке (7 и 7, као и 3 и 6):
\( = \left(-\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024} \)

Тежак: Нека је дати израз \( A = (3\sqrt{2} - \sqrt{7})^2 \cdot (3\sqrt{2} + \sqrt{7})^2 \). Докажи да је вредност израза \( A \) цео број.

Прво применимо правило \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \):
\( A = \left( (3\sqrt{2} - \sqrt{7}) \cdot (3\sqrt{2} + \sqrt{7}) \right)^2 \)
Унутар велике заграде препознајемо разлику квадрата \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \):
\( A = \left( (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2 \right)^2 \)
\( A = (9 \cdot 2 - 7)^2 \)
\( A = (18 - 7)^2 = 11^2 = 121 \)
Како је 121 цео број, тврђење је доказано.

III.4. Множење Степена Једнаких Изложилаца

Изабери решење задатка:

а) \((-1,2)^5 \cdot (-5)^5\)

б) \(4^3 \cdot (-0,25)^3\)

в) \((-0,03)^7 \cdot 100^7\)

г) \((-3)^{25} \cdot (\frac{1}{3})^{25}\)

а) \((-1,2)^5 \cdot (-5)^5\)

б) \(4^3 \cdot (-0,25)^3\)

в) \((-0,03)^7 \cdot 100^7\)

г) \((-3)^{25} \cdot (\frac{1}{3})^{25}\)

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

а) \((-1,2)^5 \cdot (-5)^5\)

б) \(4^3 \cdot (-0,25)^3\)

в) \((-0,03)^7 \cdot 100^7\)

г) \((-3)^{25} \cdot (\frac{1}{3})^{25}\)

Детаљно решење

а) \((-1,2)^5 \cdot (-5)^5\)

б) \(4^3 \cdot (-0,25)^3\)

в) \((-0,03)^7 \cdot 100^7\)

г) \((-3)^{25} \cdot (\frac{1}{3})^{25}\)

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: