III.4. Множење Степена Једнаких Изложилаца

Да бисмо решили ове задатке, применићемо основна правила за операције са степенима: 1. Степен производа: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \). 2. Множење степена истих основа: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). 3. Дељење степена истих основа: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

а) \( \frac{(x \cdot y)^5}{x^2 \cdot y^2 \cdot x^3 \cdot y^3} \)

Прво ћемо упростити бројилац применом правила за степен производа: \[ (x \cdot y)^5 = x^5 \cdot y^5 \] Затим ћемо упростити именилац груписањем и множењем степена са истим основама \( x \) и \( y \): \[ x^2 \cdot y^2 \cdot x^3 \cdot y^3 = (x^2 \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^3) = x^{2+3} \cdot y^{2+3} = x^5 \cdot y^5 \] Сада делимо бројилац имениоцем: \[ \frac{x^5 \cdot y^5}{x^5 \cdot y^5} = 1 \]

б) \( \frac{x^4 \cdot y^4 \cdot (x \cdot y)^3}{x^7 \cdot y^7} \)

Прво упростимо бројилац. Израз \( (x \cdot y)^3 \) записујемо као \( x^3 \cdot y^3 \): \[ x^4 \cdot y^4 \cdot x^3 \cdot y^3 = (x^4 \cdot x^3) \cdot (y^4 \cdot y^3) = x^7 \cdot y^7 \] Сада израз постаје: \[ \frac{x^7 \cdot y^7}{x^7 \cdot y^7} = 1 \]

в) \( \frac{x^2 \cdot (x \cdot y)^3 \cdot y^5 \cdot (x \cdot y)}{x^6 \cdot y \cdot x \cdot y^8} \)

У бројиоцу степенујемо заграде и сабирамо изложиоце истих основа: \[ \text{Бројилац: } x^2 \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot y^5 \cdot x^1 \cdot y^1 = x^{2+3+1} \cdot y^{3+5+1} = x^6 \cdot y^9 \] У имениоцу такође сабирамо изложиоце истих основа: \[ \text{Именилац: } x^6 \cdot x^1 \cdot y^1 \cdot y^8 = x^{6+1} \cdot y^{1+8} = x^7 \cdot y^9 \] Делимо добијене изразе: \[ \frac{x^6 \cdot y^9}{x^7 \cdot y^9} = \frac{x^6}{x^7} \cdot \frac{\cancel{y^9}^1}{\cancel{y^9}_1} = \frac{x^6}{x^7} = x^{6-7} \] Пошто је \( 7 > 6 \), резултат записујемо у облику разломка: \[ \frac{x^6}{x^7} = \frac{1}{x} \]

г) \( \frac{x^2 \cdot (y \cdot z)^{10} \cdot (x \cdot y \cdot z)^3}{(x \cdot z)^5 \cdot (y \cdot x)^5 \cdot (y \cdot z)^8} \)

Применићемо правило \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) на све заграде: Бројилац: \( x^2 \cdot y^{10} \cdot z^{10} \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot z^3 = x^{2+3} \cdot y^{10+3} \cdot z^{10+3} = x^5 \cdot y^{13} \cdot z^{13} \) Именилац: \( x^5 \cdot z^5 \cdot y^5 \cdot x^5 \cdot y^8 \cdot z^8 = x^{5+5} \cdot y^{5+8} \cdot z^{5+8} = x^{10} \cdot y^{13} \cdot z^{13} \) Сада скраћујемо једнаке чланове \( y^{13} \) и \( z^{13} \): \[ \frac{x^5 \cdot \cancel{y^{13}}^1 \cdot \cancel{z^{13}}^1}{x^{10} \cdot \cancel{y^{13}}_1 \cdot \cancel{z^{13}}_1} = \frac{x^5}{x^{10}} = \frac{1}{x^5} \]

а)

\( \frac{x^5 y^5}{x^5 y^5} = 1 \)

б)

\( \frac{x^4 y^4 x^3 y^3}{x^7 y^7} = \frac{x^7 y^7}{x^7 y^7} = 1 \)

в)

\( \frac{x^2 x^3 y^3 y^5 x y}{x^6 y x y^8} = \frac{x^6 y^9}{x^7 y^9} = \frac{x^6}{x^7} = \frac{1}{x} \)

г)

\( \frac{x^2 y^{10} z^{10} x^3 y^3 z^3}{x^5 z^5 y^5 x^5 y^8 z^8} = \frac{x^5 y^{13} z^{13}}{x^{10} y^{13} z^{13}} = \frac{x^5}{x^{10}} = \frac{1}{x^5} \)