Најважније из лекције
- Средња вредност (\( \bar{x} \)) представља просек. Рачуна се сабирањем свих вредности и дељењем са њиховим укупним бројем. (нпр. просек оцена 3 и 5 је 4).
- Медијана (Me) је средњи члан сортираног низа података. Ако је број података паран, рачуна се као просек два средња члана. (нпр. за 1, 3, 9 медијана је 3).
- Мод (Mo) је вредност која се најчешће појављује. Може их бити више. (нпр. за 2, 2, 5 мод је 2).
Популација је скуп свих елемената који се проучавају за одређено статистичко истраживање.
Узорак је подскуп популације. Бира се када није могуће испитати сваки елемент популације.
Обележје је карактеристика (особина, својство, мера) елемената популације која се испитује (нпр. висина, оцена, број прочитаних књига).
За сваки елемент узорка или популације одређује се вредност обележја (нпр. ако је обележје висина, вредност може бити 165 cm).
Ако се испитује просечна оцена из математике свих ученика седмог разреда у једној школи, тако што се анкетирају само ученици одељења VII-1, шта је популација, а шта узорак?
Популација: Сви ученици седмог разреда у тој школи.
Узорак: Ученици одељења VII-1.
Обележје: Оцена из математике.
Узорак: Ученици одељења VII-1.
Обележје: Оцена из математике.
Средња вредност узорка (просек) је количник збира вредности обележја свих елемената узорка и укупног броја елемената тог узорка.
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]
\( \bar{x} \) - средња вредност, \( x_1, x_2... \) - вредности обележја, \( n \) - укупан број елемената узорка.
Средња вредност не мора бити једнака ниједној од вредности из узорка и увек се налази између најмање и највеће вредности узорка.
Ако су вредности узорка 8, 5, 16, 4 и 2 (укупно 5 елемената):
Збир је \( 8 + 5 + 16 + 4 + 2 = 35 \).
Средња вредност је \( \bar{x} = \frac{35}{5} = 7 \).
Збир је \( 8 + 5 + 16 + 4 + 2 = 35 \).
Средња вредност је \( \bar{x} = \frac{35}{5} = 7 \).
Израчунајте средњу вредност за бројеве: 10, 12, 14, 16.
Збир бројева је \( 10 + 12 + 14 + 16 = 52 \). Број елемената је 4.
\( \bar{x} = \frac{52}{4} = 13 \).
\( \bar{x} = \frac{52}{4} = 13 \).
Да би се одредила медијана, вредности елемената узорка се морају поређати од најмање до највеће!
Медијана узорка (Me) је вредност која се налази тачно у средини уређеног низа података.
Непаран број елемената: Медијана је вредност средњег елемента.
Пример: За низ 3, 6, 8, 9, 13, 14, 16 (7 елемената), средњи је четврти елемент. Медијана је \( Me = 9 \).
Пример: За низ 3, 6, 8, 9, 13, 14, 16 (7 елемената), средњи је четврти елемент. Медијана је \( Me = 9 \).
Паран број елемената: Медијана је средња вредност два средња елемента.
Пример: За низ 7, 10, 15, 23, 41, 42, 48, 52 (8 елемената), средња су четврти и пети елемент (23 и 41).
\( Me = \frac{23 + 41}{2} = \frac{64}{2} = 32 \).
Пример: За низ 7, 10, 15, 23, 41, 42, 48, 52 (8 елемената), средња су четврти и пети елемент (23 и 41).
\( Me = \frac{23 + 41}{2} = \frac{64}{2} = 32 \).
Одредите медијану за податке: 12, 5, 8, 20, 15, 8.
1. Прво ређамо податке од најмањег ка највећем: 5, 8, 8, 12, 15, 20.
2. Укупан број података је 6 (паран број).
3. Два средња податка су 8 и 12.
4. \( Me = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).
2. Укупан број података је 6 (паран број).
3. Два средња податка су 8 и 12.
4. \( Me = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).
Мод узорка (Mo) је вредност обележја која има највећу учесталост (која се најчешће појављује у узорку).
Узорак може имати више од једног мода уколико више различитих вредности има исту, највећу учесталост.
Један мод: У низу 6, 7, 5, 5, 6, 5 вредност 5 се појављује три пута (највише). Дакле, \( Mo = 5 \).
Два мода: У низу 8, 7, 7, 5, 8, 6, 8, 6, 6 вредности 6 и 8 се појављују по три пута. Узорак има два мода: \( Mo = 6 \) и \( Mo = 8 \).
Два мода: У низу 8, 7, 7, 5, 8, 6, 8, 6, 6 вредности 6 и 8 се појављују по три пута. Узорак има два мода: \( Mo = 6 \) и \( Mo = 8 \).
Пронађите мод за оцене: 4, 3, 3, 5, 2, 4, 3, 4, 5.
Пребројимо појављивања:
Оцена 2 појављује се 1 пут.
Оцена 3 појављује се 3 пута.
Оцена 4 појављује се 3 пута.
Оцена 5 појављује се 2 пута.
Највећу учесталост (3 пута) имају оцене 3 и 4, па су модови \( Mo = 3 \) и \( Mo = 4 \).
Оцена 2 појављује се 1 пут.
Оцена 3 појављује се 3 пута.
Оцена 4 појављује се 3 пута.
Оцена 5 појављује се 2 пута.
Највећу учесталост (3 пута) имају оцене 3 и 4, па су модови \( Mo = 3 \) и \( Mo = 4 \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунајте средњу вредност, медијану и мод за следеће вредности: 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4.
Укупан број података је 8 (бројеви су већ сортирани).
Средња вредност: \( \bar{x} = \frac{1+2+2+3+4+4+4+4}{8} = \frac{24}{8} = 3 \).
Медијана: Паран број елемената, средишњи су четврти (3) и пети (4). \( Me = \frac{3+4}{2} = 3,5 \).
Мод: Број 4 се појављује највише пута (4 пута). \( Mo = 4 \).
Средња вредност: \( \bar{x} = \frac{1+2+2+3+4+4+4+4}{8} = \frac{24}{8} = 3 \).
Медијана: Паран број елемената, средишњи су четврти (3) и пети (4). \( Me = \frac{3+4}{2} = 3,5 \).
Мод: Број 4 се појављује највише пута (4 пута). \( Mo = 4 \).
Средњи задатак: Који број треба уписати уместо \( x \) у низу 7, 1, 9, 2, 8, \( x \), тако да средња вредност низа буде 6?
Низ има 6 елемената. Формула за средњу вредност је:
\( \frac{7 + 1 + 9 + 2 + 8 + x}{6} = 6 \)
\( \frac{27 + x}{6} = 6 \)
Множењем обе стране са 6 добијамо:
\( 27 + x = 36 \)
\( x = 36 - 27 \)
\( x = 9 \)
\( \frac{7 + 1 + 9 + 2 + 8 + x}{6} = 6 \)
\( \frac{27 + x}{6} = 6 \)
Множењем обе стране са 6 добијамо:
\( 27 + x = 36 \)
\( x = 36 - 27 \)
\( x = 9 \)
Тежак задатак: Ученик је из математике добио оцене 2, 3, 3, 4.
а) Одредите средњу вредност његових оцена.
б) Коју оцену ученик треба да добије на следећем одговарању да би му просек (средња вредност) био 3,4?
а) Одредите средњу вредност његових оцена.
б) Коју оцену ученик треба да добије на следећем одговарању да би му просек (средња вредност) био 3,4?
а) Средња вредност тренутних 4 оцена:
\( \bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3 \).
б) Ако добије још једну оцену, имаће укупно 5 оцена. Нека је нова оцена \( y \). Нови просек треба да буде 3,4:
\( \frac{12 + y}{5} = 3,4 \)
\( 12 + y = 3,4 \cdot 5 \)
\( 12 + y = 17 \)
\( y = 17 - 12 = 5 \)
Да би просек био 3,4, ученик мора да добије оцену 5.
\( \bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3 \).
б) Ако добије још једну оцену, имаће укупно 5 оцена. Нека је нова оцена \( y \). Нови просек треба да буде 3,4:
\( \frac{12 + y}{5} = 3,4 \)
\( 12 + y = 3,4 \cdot 5 \)
\( 12 + y = 17 \)
\( y = 17 - 12 = 5 \)
Да би просек био 3,4, ученик мора да добије оцену 5.
