VI.1. Средња Вредност, Медијана И Мод

Уведимо непознату \( x \) која представља број који треба да замени знак \( \bigcirc \). Укупан број података у низу, заједно са непознатом, износи \( n = 6 \).

а) средња вредност буде 7

Коришћење формуле за средњу вредност

Средња вредност узорка рачуна се као количник збира свих вредности и броја елемената помоћу формуле: \[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \] Познато нам је да средња вредност треба да буде 7. Заменимо познате вредности у формулу: \[ 7 = \frac{7 + 1 + 9 + 2 + 8 + x}{6} \]

Решавање једначине

Прво саберимо познате бројеве у бројиоцу: \[ 7 = \frac{27 + x}{6} \] Затим помножимо обе стране једначине са 6 да бисмо се ослободили разломка: \[ 42 = 27 + x \] Одавде израчунавамо непознату \( x \): \[ x = 42 - 27 \] \[ x = 15 \] Дакле, да би средња вредност била 7, уместо знака \( \bigcirc \) треба уписати број 15.

б) медијана буде 7

Сортирање познатих података

Да бисмо одредили медијану, прво морамо поређати познате бројеве од најмањег до највећег: \( 1, 2, 7, 8, 9 \)

Анализа позиције непознатог броја

Укупан број података је 6, што је паран број. Медијана парног броја података је аритметичка средина два централна члана сортираног низа. Да би медијана била 7, просек трећег и четвртог члана мора бити 7. Како већ имамо два броја мања од 7 (то су 1 и 2) и два броја већа од 7 (то су 8 и 9), број 7 се већ налази у средини. Да би се одржала вредност медијане на 7, непознати број \( x \) мора бити други централни члан (одмах поред броја 7). Поставимо једначину за медијану: \[ \frac{7 + x}{2} = 7 \]

Решавање једначине

Помножимо обе стране са 2 да бисмо нашли вредност непознате: \[ 7 + x = 14 \] \[ x = 14 - 7 \] \[ x = 7 \] Ако убацимо број 7, сортирани низ је \( 1, 2, 7, 7, 8, 9 \), а медијана је заиста \( \frac{7+7}{2} = 7 \).

в) мод буде 7

Одређивање учесталости података

Мод узорка јесте вредност која има највећу учесталост, односно појављује се највећи број пута у низу. У датом низу \( 7, 1, 9, 2, 8 \) сваки број се појављује тачно једном.

Проналажење непознатог броја

Да би број 7 био мод овог низа, он мора имати највећу учесталост. Додавањем још једног броја 7 на место знака \( \bigcirc \), број 7 ће се појавити два пута, док ће сви остали бројеви остати на учесталости 1. Према томе, тражени број мора бити 7.

Нека је непознати број \( x \).

а)

\[ \frac{7 + 1 + 9 + 2 + 8 + x}{6} = 7 \] \[ \frac{27 + x}{6} = 7 \] \[ 27 + x = 42 \] \[ x = 15 \]

б)

Сортирани познати бројеви: \( 1, 2, 7, 8, 9 \). Медијана за 6 чланова је средина 3. и 4. члана: \[ \frac{7 + x}{2} = 7 \] \[ 7 + x = 14 \] \[ x = 7 \]

в)

У низу \( 7, 1, 9, 2, 8 \) сви бројеви се појављују по једном. За мод једнак 7, тај број мора имати највећу учесталост: \[ x = 7 \]