VI.1. Средња Вредност, Медијана И Мод

Утврђивање зависности укупног просека

Задатак нас пита да ли можемо да закључимо да је укупан просек висине у школи „Питагора” већи од укупног просека у школи „Талес”, ако знамо само просеке за девојчице и дечаке појединачно. Укупан просек (аритметичка средина) не зависи само од просека појединих група, већ и од укупног броја чланова у тим групама. Пошто нам број девојчица и дечака није познат, закључујемо да не можемо директно упоредити укупне просеке. Да бисмо то доказали, конструисаћемо контрапример.

Одабир пробних вредности за контрапример

Бирамо произвољне вредности за просечне висине тако да задовољавају услове из задатка (просеци у „Питагори” су већи него у „Талесу”): - Просечна висина девојчица у школи „Питагора”: \( 150 \text{ cm} \) - Просечна висина дечака у школи „Питагора”: \( 170 \text{ cm} \) - Просечна висина девојчица у школи „Талес”: \( 140 \text{ cm} \) - Просечна висина дечака у школи „Талес”: \( 160 \text{ cm} \) Видимо да су услови испуњени, јер је \( 150 > 140 \) и \( 170 > 160 \). Затим, бирамо број ученика тако да значајно утичемо на укупан просек: - Нека школа „Питагора” има \( 9 \) девојчица и \( 1 \) дечака (укупно \( 10 \) ученика). - Нека школа „Талес” има \( 1 \) девојчицу и \( 9 \) дечака (укупно \( 10 \) ученика).

Рачунање укупног просека за школу „Питагора”

Рачунамо збир висина свих ученика у школи „Питагора”. Збир висина девојчица добијамо множењем њиховог броја и просека, а исто важи и за дечаке: - Збир висина девојчица: \( 9 \cdot 150 = 1350 \text{ cm} \) - Збир висина дечака: \( 1 \cdot 170 = 170 \text{ cm} \) Укупан збир висина је \( 1350 + 170 = 1520 \text{ cm} \). Укупан просек висина у школи „Питагора” рачунамо дељењем укупног збира са укупним бројем ученика: \[ \bar{x}_P = \frac{1520}{10} = 152 \text{ cm} \]

Рачунање укупног просека за школу „Талес”

Понављамо исти поступак за школу „Талес”: - Збир висина девојчица: \( 1 \cdot 140 = 140 \text{ cm} \) - Збир висина дечака: \( 9 \cdot 160 = 1440 \text{ cm} \) Укупан збир висина је \( 140 + 1440 = 1580 \text{ cm} \). Укупан просек висина у школи „Талес” је: \[ \bar{x}_T = \frac{1580}{10} = 158 \text{ cm} \]

Доношење коначног закључка

Упоређујемо добијене укупне просеке. Иако су појединачни просеци по групама били већи у школи „Питагора”, добили смо да је укупан просек већи у школи „Талес” (\( 158 \text{ cm} > 152 \text{ cm} \)). Овај пример нам доказује да на основу датих података није могуће извести закључак да је просек висина свих ученика у школи „Питагора” већи.

Да бисмо доказали да закључак не важи, конструишемо пример. Нека су просеци девојчица у Питагори и Талесу \( 150 \text{ cm} \) и \( 140 \text{ cm} \), а дечака \( 170 \text{ cm} \) и \( 160 \text{ cm} \). Ако у Питагори има \( 9 \) девојчица и \( 1 \) дечак, просек је: \[ \bar{x}_P = \frac{9 \cdot 150 + 1 \cdot 170}{10} = 152 \text{ cm} \] Ако у Талесу има \( 1 \) девојчица и \( 9 \) дечака, просек је: \[ \bar{x}_T = \frac{1 \cdot 140 + 9 \cdot 160}{10} = 158 \text{ cm} \] Пошто је \( 152 \text{ cm} < 158 \text{ cm} \), закључак из задатка се не може извести.