Најважније из лекције
Обим троугла: \(O = a + b + c\).
Неједнакост троугла: Свака страница је већа од разлике, а мања од збира осталих двеју (\(|b - c| < a < b + c\)). Збир две краће странице мора бити строго већи од најдуже.
Углови: Збир унутрашњих углова износи увек \(180^\circ\), а спољашњих \(360^\circ\). Спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња (\(\alpha_1 = \beta + \gamma\)).
Однос страница и углова: Наспрам већег угла налази се дужа страница и обрнуто. Код правоуглог троугла хипотенуза је најдужа. Једнаким страницама одговарају једнаки углови (једнакокраки: углови на основици су исти; једнакостранични: сви углови су \(60^\circ\)).
Висине: Дужи нормалне на наспрамне странице. Код правоуглог троугла две висине су катете, а код тупоуглог две висине падају ван троугла.
Неједнакост троугла: Свака страница је већа од разлике, а мања од збира осталих двеју (\(|b - c| < a < b + c\)). Збир две краће странице мора бити строго већи од најдуже.
Углови: Збир унутрашњих углова износи увек \(180^\circ\), а спољашњих \(360^\circ\). Спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња (\(\alpha_1 = \beta + \gamma\)).
Однос страница и углова: Наспрам већег угла налази се дужа страница и обрнуто. Код правоуглог троугла хипотенуза је најдужа. Једнаким страницама одговарају једнаки углови (једнакокраки: углови на основици су исти; једнакостранични: сви углови су \(60^\circ\)).
Висине: Дужи нормалне на наспрамне странице. Код правоуглог троугла две висине су катете, а код тупоуглог две висине падају ван троугла.
Изломљена линија настаје надовезивањем дужи тако да две узастопне дужи не припадају истој правој. Затворена изломљена линија од три дужи назива се троугаона линија. Она дели раван на унутрашњу и спољашњу област.
Троугао (\(\triangle ABC\)) јесте геометријска фигура коју чине троугаона линија и њена унутрашња област.
Основни елементи троугла \(ABC\):
- Темена: тачке \(A\), \(B\) и \(C\).
- Странице: дужи \(a = BC\) (наспрам темена \(A\)), \(b = CA\) (наспрам темена \(B\)) и \(c = AB\) (наспрам темена \(C\)).
- Унутрашњи углови: \(\alpha = \angle CAB\), \(\beta = \angle ABC\) и \(\gamma = \angle BCA\). Углови који належу на страницу садрже њена темена (нпр. на страницу \(c\) належу \(\alpha\) и \(\beta\)).
\[ O = a + b + c \]
Обим троугла једнак је збиру дужина свих његових страница.
Ако су странице троугла \(a = 5\ \text{cm}\), \(b = 6\ \text{cm}\) и \(c = 2\ \text{cm}\), његов обим је:
\[ O = 5\ \text{cm} + 6\ \text{cm} + 2\ \text{cm} = 13\ \text{cm} \]
Троуглови се класификују према односу дужина страница и према врсти унутрашњих углова.
| Критеријум | Врста троугла | Карактеристика |
|---|---|---|
| Према страницама | Разностранични | Све три странице су различитих дужина (\(a \ne b \ne c\)). |
| Једнакокраки | Две странице су једнаке дужине (краци: \(a = b\)), трећа је основица (\(c\)). | |
| Једнакостранични | Све три странице су једнаких дужина (\(a = b = c\)). | |
| Према угловима | Оштроугли | Сва три унутрашња угла су оштра (мања од \(90^\circ\)). |
| Правоугли | Има један прав угао (\(90^\circ\)). Странице уз прав угао су катете, а наспрамна страница је хипотенуза. | |
| Тупоугли | Има један туп угао (већи од \(90^\circ\) и мањи од \(180^\circ\)). |
Троугао може имати највише један прав или највише један туп угао, јер би у супротном збир углова премашио \(180^\circ\).
Свака страница троугла мања је од збира других двеју страница, а већа од њихове позитивне разлике.
\[ a < b + c, \quad b < a + c, \quad c < a + b \]
\[ |b - c| < a < b + c \]
Три дужи могу бити странице троугла ако и само ако је збир дужина било које две дужи већи од дужине треће дужи. У пракси је довољно проверити да ли је збир две краће дужи већи од најдуже дужи.
Ако су познате две странице \(a = 13\ \text{cm}\) и \(b = 6\ \text{cm}\), трећа страница мора задовољавати:
\[ 13 - 6 < c < 13 + 6 \implies 7\ \text{cm} < c < 19\ \text{cm} \]
Збир унутрашњих углова сваког троугла јесте опружен угао (\(180^\circ\)):
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
Спољашњи угао троугла (\(\alpha_1, \beta_1, \gamma_1\)) добија се продужењем једне странице преко темена и упоредан је са одговарајућим унутрашњим углом:
\[ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ, \quad \beta + \beta_1 = 180^\circ, \quad \gamma + \gamma_1 = 180^\circ \]
Сваки спољашњи угао троугла једнак је збиру два њему несуседна унутрашња угла:
\[ \alpha_1 = \beta + \gamma, \quad \beta_1 = \alpha + \gamma, \quad \gamma_1 = \alpha + \beta \]
Збир спољашњих углова троугла износи \(360^\circ\) (пун угао):
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = 360^\circ \]
Једнаке странице и једнаки углови:
- Наспрам једнаких страница налазе се једнаки углови, и обрнуто.
- Код једнакокраког троугла, углови на основици су међусобно једнаки (\(\alpha = \beta\)). Има једну осу симетрије.
- Код једнакостраничног троугла, сви углови су једнаки и износе \(60^\circ\) (јер је \(180^\circ : 3 = 60^\circ\)).
Неједнаке странице и углови:
- Наспрам дуже странице троугла налази се већи угао: ако је \(a > b\), онда је \(\alpha > \beta\).
- Наспрам већег угла троугла налази се дужа страница: ако је \(\alpha > \beta\), онда је \(a > b\).
- У правоуглом троуглу највећи угао је прав (\(90^\circ\)), па је хипотенуза увек најдужа страница тог троугла.
Ако су унутрашњи углови троугла \(\alpha = 95^\circ\) и \(\beta = 47^\circ\), трећи угао је \(\gamma = 180^\circ - (95^\circ + 47^\circ) = 38^\circ\).
Како је \(38^\circ < 47^\circ < 95^\circ\) (\(\gamma < \beta < \alpha\)), поредак страница од најкраће до најдуже је: \(c < b < a\).
Висина троугла јесте дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга подножје нормале спуштене из тог темена на праву која садржи наспрамну страницу. Сваки троугао има три висине: \(h_a, h_b, h_c\).
Положај висина у зависности од врсте троугла:
- Оштроугли троугао: све три висине налазе се у унутрашњости троугла.
- Правоугли троугао: две висине се поклапају са катетама троугла, док је трећа висина спуштена из темена правог угла на хипотенузу.
- Тупоугли троугао: једна висина (из темена тупог угла) припада унутрашњости, док друге две падају на продужетке страница и налазе се изван троугла.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Да ли могу дужи дужина \(4\ \text{cm}\), \(7\ \text{cm}\) и \(12\ \text{cm}\) бити странице једног троугла?
Да би троугао постојао, збир две краће странице мора бити већи од најдуже странице:
\[ 4\ \text{cm} + 7\ \text{cm} = 11\ \text{cm} \]
Како је \(11\ \text{cm} \le 12\ \text{cm}\), неједнакост троугла није задовољена.
Одговор: Ове дужи не могу бити странице троугла.
Одговор: Ове дужи не могу бити странице троугла.
Средњи задатак 1: У једнакокраком троуглу угао при врху је \(\gamma = 40^\circ\). Одреди углове на основици тог троугла и утврди да ли је дужа основица или крак.
Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки (\(\alpha = \beta\)).
Збир углова је \(180^\circ\): \[ 2\alpha + 40^\circ = 180^\circ \implies 2\alpha = 140^\circ \implies \alpha = \beta = 70^\circ \] Пошто је угао на основици (\(70^\circ\)) већи од угла при врху (\(40^\circ\)), наспрам већег угла налази се дужа страница. Наспрам угла на основици налази се крак, а наспрам угла при врху основица.
Одговор: Углови на основици износе по \(70^\circ\); крак је дужи од основице.
Збир углова је \(180^\circ\): \[ 2\alpha + 40^\circ = 180^\circ \implies 2\alpha = 140^\circ \implies \alpha = \beta = 70^\circ \] Пошто је угао на основици (\(70^\circ\)) већи од угла при врху (\(40^\circ\)), наспрам већег угла налази се дужа страница. Наспрам угла на основици налази се крак, а наспрам угла при врху основица.
Одговор: Углови на основици износе по \(70^\circ\); крак је дужи од основице.
Средњи задатак 2: У троуглу \(ABC\) један унутрашњи угао износи \(\alpha = 45^\circ\), а спољашњи угао код темена \(B\) је \(\beta_1 = 135^\circ\). Одредити врсту троугла према угловима и према страницама.
Унутрашњи угао \(\beta\) упоредан је са \(\beta_1\):
\[ \beta = 180^\circ - \beta_1 = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \]
Трећи унутрашњи угао рачунамо из збира свих углова:
\[ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Пошто троугао има угао од \(90^\circ\), он је правоугли. Како су му два угла једнака (\(\alpha = \beta = 45^\circ\)), наспрам њих су једнаке странице (катете), па је троугао и једнакокраки.
Одговор: Троугао је правоугли једнакокраки.
Одговор: Троугао је правоугли једнакокраки.
Тежак задатак: Обим једнакокраког троугла је \(32\ \text{cm}\). Крак троугла је за \(4\ \text{cm}\) дужи од основице. Одреди дужине страница троугла и провери услов његовог постојања.
Нека је дужина основице \(c\). Тада је крак \(a = b = c + 4\).
Обим троугла је збир страница: \[ O = a + b + c = (c + 4) + (c + 4) + c = 3c + 8 \] \[ 3c + 8 = 32 \implies 3c = 24 \implies c = 8\ \text{cm} \] Краци троугла износе: \[ a = b = 8 + 4 = 12\ \text{cm} \] Провера постојања троугла (неједнакост троугла): \[ 8 < 12 + 12 \quad (8 < 24) \quad \checkmark \] \[ 12 < 12 + 8 \quad (12 < 20) \quad \checkmark \]
Одговор: Основица је \(8\ \text{cm}\), а краци су по \(12\ \text{cm}\). Троугао постоји.
Обим троугла је збир страница: \[ O = a + b + c = (c + 4) + (c + 4) + c = 3c + 8 \] \[ 3c + 8 = 32 \implies 3c = 24 \implies c = 8\ \text{cm} \] Краци троугла износе: \[ a = b = 8 + 4 = 12\ \text{cm} \] Провера постојања троугла (неједнакост троугла): \[ 8 < 12 + 12 \quad (8 < 24) \quad \checkmark \] \[ 12 < 12 + 8 \quad (12 < 20) \quad \checkmark \]
Одговор: Основица је \(8\ \text{cm}\), а краци су по \(12\ \text{cm}\). Троугао постоји.
