Најважније из лекције
Неједначина је неједнакост са непознатом (нпр. \( x + 1 < 5 \)). Њено решење је свака вредност променљиве која даје тачну неједнакост. Решавамо је правилом додавања: истом броју који додамо или одузмемо на обе стране неједначина остаје тачна, па осамостаљујемо \( x \). Промена сабирка мења збир у истом смеру: ако сабирак повећамо, збир расте; ако га смањимо, збир опада. Када се појави \( -x \), користимо да је \( -(-a) = a \). Резултат записујемо у облику \( x < a \), \( x > a \), \( x \le a \) или \( x \ge a \) и представљамо на бројевној правој.
Неједначина је неједнакост у којој се јавља непозната (променљива). Променљиву обично обележавамо словима \( x,\ y,\ z,\ \dots \)
Знаци неједнакости су: \( < \) (мање), \( > \) (веће), \( \le \) (мање или једнако) и \( \ge \) (веће или једнако).
Решење неједначине јесте свака вредност променљиве која, када се замени у неједначину, даје тачну неједнакост.
Посматрамо неједначину \( x + 1 < 5 \).
- Да ли је \( 3 \) решење? \( 3 + 1 < 5 \Rightarrow 4 < 5 \) — тачно, па јесте решење.
- Да ли је \( 4 \) решење? \( 4 + 1 < 5 \Rightarrow 5 < 5 \) — нетачно, па није решење.
Правило додавања. У поступку решавања неједначине левој и десној страни можемо додати исти број и при томе неједначина и даље важи. Пошто одузимање значи додавање супротног броја, на исти начин смемо и одузети исти број са обе стране.
Циљ је да се променљива осамостали на једној страни, тако да на крају добијемо облик \( x < a \), \( x > a \), \( x \le a \) или \( x \ge a \).
Решавамо \( x + 1 < 3 \). Са обе стране одузмемо \( 1 \) (тј. додамо \( -1 \)):
\[ x + 1 - 1 < 3 - 1 \]
\[ x < 2 \]
Дакле, решење су сви бројеви мањи од \( 2 \).
Када у збиру мењамо један сабирак, збир се мења у истом смеру:
- Ако један сабирак повећамо, онда се и збир повећа.
- Ако један сабирак смањимо, онда се и збир смањи.
Посматрамо збир облика \( x + (-5) \) и мењамо сабирак \( x \):
Када сабирак расте \( (11 \to 13 \to 17) \), расте и збир \( (6 \to 8 \to 12) \). Обрнуто, ако сабирак опада, опада и збир.
| Сабирак \( x \) | Збир \( x + (-5) \) |
|---|---|
| \( 11 \) | \( 6 \) |
| \( 13 \) | \( 8 \) |
| \( 17 \) | \( 12 \) |
Понекад после сређивања добијемо облик \( -x \) с једне стране. Тада користимо правило да је за сваки број \( a \): \( -(-a) = a \).
Ако је \( -x \) веће (или мање) од неког броја, онда је \( x \) супротног положаја у односу на супротан број.
Решавамо \( -x - 2 < 3 \). Са обе стране додамо \( 2 \):
\[ -x - 2 + 2 < 3 + 2 \]
\[ -x < 5 \]
Одатле је \( -(-x) > -5 \), тј. \( x > -5 \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Реши неједначину \( x + 0{,}2 < -1{,}3 \) и опиши њена решења.
Са обе стране одузмемо \( 0{,}2 \):
\[ x + 0{,}2 - 0{,}2 < -1{,}3 - 0{,}2 \]
\[ x < -1{,}5 \]
Одговор: решења су сви бројеви мањи од \( -1{,}5 \).
Средњи задатак: Реши неједначину \( 4{,}8 - x < 1{,}8 \).
Са обе стране одузмемо \( 4{,}8 \):
\[ 4{,}8 - x - 4{,}8 < 1{,}8 - 4{,}8 \]
\[ -x < -3 \]
Пошто је \( -(-x) > -(-3) \), добијамо:
\[ x > 3 \]
Одговор: решења су сви бројеви већи од \( 3 \).
Тежак задатак: Колика треба да буде маса торте да, кад се исече \( 350 \text{ g} \) торте, маса остатка не буде мања од \( 1{,}2 \text{ kg} \)?
Одсечено парче има масу \( 350 \text{ g} = 0{,}35 \text{ kg} \). Нека је маса целе торте \( x \) (у килограмима). Маса остатка не сме бити мања од \( 1{,}2 \text{ kg} \), па постављамо неједначину:
\[ x - 0{,}35 \ge 1{,}2 \]
Са обе стране додамо \( 0{,}35 \):
\[ x - 0{,}35 + 0{,}35 \ge 1{,}2 + 0{,}35 \]
\[ x \ge 1{,}55 \]
Одговор: маса торте треба да буде већа од или једнака \( 1{,}55 \text{ kg} \).
