Најважније из лекције
Ромб је паралелограм са свим једнаким страницама: дијагонале су му међусобно нормалне и леже на симетралама углова. Правоугаоник је паралелограм са свим правим угловима (\( 90^\circ \)) и једнаким дијагоналама. Квадрат је истовремено и ромб и правоугаоник, па су му дијагонале једнаке, нормалне и полове углове на по \( 45^\circ \). Све три фигуре су осносиметричне, а дијагонале им се међусобно полове.
Ромб је паралелограм чије су све четири странице једнаке. За ромб \( ABCD \) важи \( AB = BC = CD = DA \).
Пошто је ромб паралелограм, за њега важе и сва својства паралелограма: наспрамне странице су паралелне и једнаке, наспрамни углови су једнаки, суседни углови су суплементни (збир им је \( 180^\circ \)), а дијагонале се међусобно полове.
Посебна својства ромба:
- Дијагонале ромба леже на симетралама углова ромба (свака дијагонала полови углове код својих темена).
- Дијагонале ромба су међусобно нормалне (секу се под правим углом).
- Ромб је осносиметрична фигура; осе симетрије ромба су праве на којима леже његове дијагонале.
Правоугаоник је паралелограм чији су сви углови једнаки. Пошто је збир углова четвороугла пун угао (\( 360^\circ \)), сваки угао правоугаоника је прав: \( \alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ \).
Као паралелограм, правоугаоник има и сва општа својства: наспрамне странице су паралелне и једнаке, а дијагонале се међусобно полове.
Посебна својства правоугаоника:
- Дијагонале правоугаоника су једнаке: \( AC = BD \).
- Правоугаоник је осносиметрична фигура; осе симетрије су праве које пролазе кроз средишта наспрамних страница.
Квадрат је паралелограм чије су све странице једнаке и сви углови једнаки. Дакле, квадрат је истовремено и ромб и правоугаоник.
За квадрат \( ABCD \) важи \( AB = BC = CD = DA \) и \( \alpha = \beta = \gamma = \delta = 90^\circ \).
Квадрат има сва својства и ромба и правоугаоника:
- Дијагонале квадрата су једнаке (својство правоугаоника).
- Дијагонале квадрата су међусобно нормалне (својство ромба).
- Дијагонале квадрата леже на симетралама његових углова, па сваку дијагоналу деле углове квадрата на два угла од по \( 45^\circ \).
- Дијагонале се међусобно полове.
Угао који одређују дијагонала \( AC \) и страница \( AB \) ромба \( ABCD \) има меру \( 42^\circ \). Одреди унутрашње углове ромба.
Решење: Дијагонала \( AC \) припада симетрали угла \( \alpha \) код темена \( A \), па га полови. Зато је \[ \alpha = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ. \] Суседни угао ромба је суплементан са \( \alpha \): \[ \beta = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ. \] Наспрамни углови су једнаки, па је \( \gamma = 84^\circ \) и \( \delta = 96^\circ \).
Решење: Дијагонала \( AC \) припада симетрали угла \( \alpha \) код темена \( A \), па га полови. Зато је \[ \alpha = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ. \] Суседни угао ромба је суплементан са \( \alpha \): \[ \beta = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ. \] Наспрамни углови су једнаки, па је \( \gamma = 84^\circ \) и \( \delta = 96^\circ \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај обим ромба ако је један његов оштар угао \( 60^\circ \), а краћа дијагонала једнака \( 5 \text{ cm} \). (Задатак 4.4)
Нека су темена ромба \( A, B, C, D \) и нека је \( \angle BAD = 60^\circ \). Краћа дијагонала \( BD \) са страницама \( AB \) и \( AD \) образује троугао \( ABD \).
Троугао \( ABD \) је једнакокраки јер је \( AB = AD \) (странице ромба), па су углови на основици једнаки. Збир углова троугла је \( 180^\circ \), па је \[ \angle ABD = \angle ADB = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. \] Сви углови троугла \( ABD \) су \( 60^\circ \), па је он једнакостранични. Отуда је \[ AB = AD = BD = 5 \text{ cm}. \] Обим ромба је \( O = 4 \cdot 5 = 20 \text{ cm}. \)
Одговор: Обим ромба је \( 20 \text{ cm} \).
Троугао \( ABD \) је једнакокраки јер је \( AB = AD \) (странице ромба), па су углови на основици једнаки. Збир углова троугла је \( 180^\circ \), па је \[ \angle ABD = \angle ADB = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ. \] Сви углови троугла \( ABD \) су \( 60^\circ \), па је он једнакостранични. Отуда је \[ AB = AD = BD = 5 \text{ cm}. \] Обим ромба је \( O = 4 \cdot 5 = 20 \text{ cm}. \)
Одговор: Обим ромба је \( 20 \text{ cm} \).
Средњи: Дијагонала правоугаоника са дужом страницом одређује угао од \( 25^\circ \). а) Који угао одређује та дијагонала са краћом страницом? б) Колики су углови између дијагонала овог правоугаоника? (Задатак 4.5)
Нека је у правоугаонику \( ABCD \) тачка \( S \) пресек дијагонала и нека дијагонала са дужом страницом гради угао \( 25^\circ \).
а) Углови правоугаоника су прави (\( 90^\circ \)). У правоуглом троуглу који чине дијагонала и две странице, угао са краћом страницом је \[ 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ. \] б) Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се, па је троугао \( ABS \) једнакокраки (\( SA = SB \)). Углови на основици \( AB \) су једнаки углу који дијагонала гради са краћом страницом, тј. \( 65^\circ \). Тада је \[ \angle ASB = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 50^\circ, \] а угао између дијагонала са друге стране је \( 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Одговор: а) \( 65^\circ \); б) углови између дијагонала су \( 50^\circ \) и \( 130^\circ \).
а) Углови правоугаоника су прави (\( 90^\circ \)). У правоуглом троуглу који чине дијагонала и две странице, угао са краћом страницом је \[ 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ. \] б) Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се, па је троугао \( ABS \) једнакокраки (\( SA = SB \)). Углови на основици \( AB \) су једнаки углу који дијагонала гради са краћом страницом, тј. \( 65^\circ \). Тада је \[ \angle ASB = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 50^\circ, \] а угао између дијагонала са друге стране је \( 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Одговор: а) \( 65^\circ \); б) углови између дијагонала су \( 50^\circ \) и \( 130^\circ \).
Тежак: Растојања тачке пресека дијагонала правоугаоника \( PQRS \) од странице \( PQ \) износи \( 2 \text{ cm} \), а од странице \( QR \) износи \( 4 \text{ cm} \). Израчунај обим правоугаоника \( PQRS \). (Задатак 4.7)
Нека је \( O \) тачка пресека дијагонала правоугаоника. Растојање тачке \( O \) од странице представља дужину нормале из \( O \) на ту страницу.
Тачка \( O \) је средиште правоугаоника, па је нормала из \( O \) на страницу \( PQ \) једнака половини супротне странице, а нормала на \( QR \) једнака половини странице \( PQ \). Зато је: \[ PQ = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}, \qquad QR = 2 \cdot 2 = 4 \text{ cm}. \] Обим правоугаоника је \[ O = 2 \cdot (PQ + QR) = 2 \cdot (8 + 4) = 24 \text{ cm}. \]
Одговор: Обим правоугаоника је \( 24 \text{ cm} \).
Тачка \( O \) је средиште правоугаоника, па је нормала из \( O \) на страницу \( PQ \) једнака половини супротне странице, а нормала на \( QR \) једнака половини странице \( PQ \). Зато је: \[ PQ = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}, \qquad QR = 2 \cdot 2 = 4 \text{ cm}. \] Обим правоугаоника је \[ O = 2 \cdot (PQ + QR) = 2 \cdot (8 + 4) = 24 \text{ cm}. \]
Одговор: Обим правоугаоника је \( 24 \text{ cm} \).
