Најважније из лекције
У скуповима \( N \) и \( N_0 \) имамо четири основне рачунске операције. Сабирање \( (a+b=c) \) и множење \( (a \cdot b=c) \) увек су изводљиви у \( N \) и имају својства комутативности \( (a+b=b+a,\ a\cdot b=b\cdot a) \) и асоцијативности; множење је дистрибутивно према сабирању \( a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c \). Број \( 0 \) је неутрал за сабирање \( (n+0=n) \), а \( 1 \) за множење \( (n\cdot 1=n) \). Одузимање \( (a-b) \) и дељење \( (a:b) \) нису увек изводљиви у \( N \); дељење нулом није дефинисано.
Сабирање је операција којом се бројевима \( n \) и \( m \) из скупа \( N_0 \) придружује број \( n+m \) из \( N_0 \). Бројеви \( n \) и \( m \) су сабирци, а \( n+m \) је збир.
Својства сабирања:
- комутативност: \( n+m=m+n \) (замена места сабирака),
- асоцијативност: \( (n+m)+k=n+(m+k) \) (здруживање сабирака),
- број \( 0 \) је неутрал: \( n+0=n \).
Збир два природна броја увек је природан број, па се каже да је сабирање увек изводљиво у \( N \).
Одузимање је операција којом се бројевима \( n \) и \( m\ (n \ge m) \) придружује број \( n-m \). При томе је \( n \) умањеник, \( m \) умањилац, а \( n-m \) разлика.
\[ a-b=c \quad \Leftrightarrow \quad a=c+b \]
У скупу \( N_0 \) одузимање је могуће само ако је умањеник већи од умањиоца или једнак њему, па одузимање није увек изводљиво у \( N \).
Множење је операција којом се бројевима \( p \) и \( q \) придружује број \( p\cdot q \). Бројеви \( p \) и \( q \) су чиниоци, а \( p\cdot q \) је производ. Множење се уводи као узастопно сабирање: \( 3\cdot 7=7+7+7 \).
Својства множења:
- комутативност: \( p\cdot q=q\cdot p \),
- асоцијативност: \( (p\cdot q)\cdot r=p\cdot(q\cdot r) \),
- дистрибутивност према сабирању: \( p\cdot(q+r)=p\cdot q+p\cdot r \),
- број \( 1 \) је неутрал: \( n\cdot 1=n \); такође \( n\cdot 0=0 \).
Производ два природна броја увек је природан број, па је множење увек изводљиво у \( N \).
Дељење се уводи помоћу множења: ако је \( p=k\cdot q \), тада је \( k=p:q \). Број \( p \) је дељеник, \( q \) делилац, а \( k \) количник.
\[ a:b=k \quad \Leftrightarrow \quad a=k\cdot b \]
Нулом се не може делити. Количник два природна броја није увек природан број, па дељење није увек изводљиво у \( N \).
