Најважније из лекције
Дељивост са 3: Број је дељив са \( 3 \) ако му је збир цифара дељив са \( 3 \).
Пример: \( 111 \) (\( 1+1+1=3 \), дељиво).
Дељивост са 9: Број је дељив са \( 9 \) ако му је збир цифара дељив са \( 9 \).
Пример: \( 81 \) (\( 8+1=9 \), дељиво).
Важно правило: Сваки број који је дељив са \( 9 \), сигурно је дељив и са \( 3 \). Обрнуто није увек тачно!
Пример: \( 111 \) (\( 1+1+1=3 \), дељиво).
Дељивост са 9: Број је дељив са \( 9 \) ако му је збир цифара дељив са \( 9 \).
Пример: \( 81 \) (\( 8+1=9 \), дељиво).
Важно правило: Сваки број који је дељив са \( 9 \), сигурно је дељив и са \( 3 \). Обрнуто није увек тачно!
Збир цифара неког броја добија се када се саберу све цифре тог броја. Ово је кључни корак за одређивање дељивости бројевима \( 3 \) и \( 9 \).
Израчунавање збира цифара:
- За број \( 24 \), збир цифара је \( 2 + 4 = 6 \).
- За број \( 19\,865 \), збир цифара је \( 1 + 9 + 8 + 6 + 5 = 29 \).
Израчунај збир цифара броја \( 3\,407 \).
Одговор: Збир цифара је \( 3 + 4 + 0 + 7 = 14 \).
Природан број дељив је са \( 3 \) ако је збир цифара тог броја дељив са \( 3 \).
Испитајмо да ли су бројеви \( 3\,789 \) и \( 121 \) дељиви са \( 3 \):
- Број \( 3\,789 \): Збир цифара је \( 3 + 7 + 8 + 9 = 27 \). Пошто је \( 27 \) дељиво са \( 3 \), и број \( 3\,789 \) је дељив са \( 3 \).
- Број \( 121 \): Збир цифара је \( 1 + 2 + 1 = 4 \). Пошто \( 4 \) није дељиво са \( 3 \), ни број \( 121 \) није дељив са \( 3 \).
Које се цифре могу уписати уместо знака \( * \) у броју \( \overline{12*6} \) тако да број буде дељив са \( 3 \)?
Збир цифара је \( 1 + 2 + * + 6 = * + 9 \).
Како је цифра \( 9 \) већ дељива са \( 3 \), да би укупан збир био дељив са \( 3 \), и цифра \( * \) мора бити дељива са \( 3 \).
Одговор: Уместо \( * \) могу се уписати цифре из скупа \( \{0, 3, 6, 9\} \).
Како је цифра \( 9 \) већ дељива са \( 3 \), да би укупан збир био дељив са \( 3 \), и цифра \( * \) мора бити дељива са \( 3 \).
Одговор: Уместо \( * \) могу се уписати цифре из скупа \( \{0, 3, 6, 9\} \).
Природан број дељив је са \( 9 \) ако је збир цифара тог броја дељив са \( 9 \).
Да ли је број \( 12\,034\,089 \) дељив бројем \( 9 \)?
Збир цифара је \( 1 + 2 + 0 + 3 + 4 + 0 + 8 + 9 = 27 \).
Број \( 27 \) је дељив са \( 9 \), па је и почетни број дељив са \( 9 \).
Збир цифара је \( 1 + 2 + 0 + 3 + 4 + 0 + 8 + 9 = 27 \).
Број \( 27 \) је дељив са \( 9 \), па је и почетни број дељив са \( 9 \).
Да ли је број \( 5\,462 \) дељив са \( 9 \)?
Збир цифара је \( 5 + 4 + 6 + 2 = 17 \). Пошто \( 17 \) није дељиво са \( 9 \), ни број \( 5\,462 \) није дељив са \( 9 \).
Сваки број који је дељив са \( 9 \), дељив је и са \( 3 \).
Обрнуто не мора да важи! Број може бити дељив са \( 3 \), а да није дељив са \( 9 \).
Број \( 21 \) је дељив са \( 3 \) (јер је \( 2+1=3 \)), али није дељив са \( 9 \).
Са друге стране, број \( 36 \) је дељив са \( 9 \) (јер је \( 3+6=9 \)), па је самим тим аутоматски дељив и са \( 3 \).
Са друге стране, број \( 36 \) је дељив са \( 9 \) (јер је \( 3+6=9 \)), па је самим тим аутоматски дељив и са \( 3 \).
Сваки број који је за \( 1 \) мањи од декадне јединице (нпр. \( 9, 99, 999 \dots \)) дељив је и са \( 9 \) и са \( 3 \).
Задаци за вежбање
Лак: Издвој бројеве који су дељиви са \( 3 \) из следећег скупа: \( \{113, 141, 125, 126\} \).
Рачунамо збирове цифара:
- \( 113 \rightarrow 1+1+3 = 5 \) (није дељив)
- \( 141 \rightarrow 1+4+1 = 6 \) (дељив)
- \( 125 \rightarrow 1+2+5 = 8 \) (није дељив)
- \( 126 \rightarrow 1+2+6 = 9 \) (дељив)
Средњи: Да ли је број \( 72\,504 \) дељив и са \( 3 \) и са \( 9 \)? Објасни.
Збир цифара броја \( 72\,504 \) је \( 7 + 2 + 5 + 0 + 4 = 18 \).
Број \( 18 \) је дељив са \( 9 \), па је почетни број дељив са \( 9 \). Пошто је дељив са \( 9 \), аутоматски је дељив и са \( 3 \).
Одговор: Да, дељив је са оба броја.
Број \( 18 \) је дељив са \( 9 \), па је почетни број дељив са \( 9 \). Пошто је дељив са \( 9 \), аутоматски је дељив и са \( 3 \).
Одговор: Да, дељив је са оба броја.
Тежак: Које цифре могу да замене знак \( * \) да би било тачно тврђење \( 9 \mid \overline{4500*} \)?
Збир цифара је \( 4 + 5 + 0 + 0 + * = 9 + * \).
Да би број био дељив са \( 9 \), збир мора бити број дељив са \( 9 \) (дакле \( 9, 18, 27 \dots \)).
Како је \( * \) цифра (од \( 0 \) до \( 9 \)):
Да би број био дељив са \( 9 \), збир мора бити број дељив са \( 9 \) (дакле \( 9, 18, 27 \dots \)).
Како је \( * \) цифра (од \( 0 \) до \( 9 \)):
- Ако је збир \( 9 \), онда је \( * = 0 \).
- Ако је збир \( 18 \), онда је \( * = 9 \).
