Најважније из лекције
Кључно о растављању на просте чиниоце:
- Раставити број значи записати га као производ искључиво простих бројева. (нпр. \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\)).
- Ако се чинилац понавља, користимо запис помоћу степена: \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\).
- Најпрактичнији метод је дељење помоћу вертикалне линије, где дати број увек делимо његовим најмањим простим делиоцем, све док не добијемо количник 1.
Раставити природан број на просте чиниоце значи записати тај број у облику производа који се састоји искључиво од простих бројева.
Сваки сложен број може се представити као производ простих чинилаца.
Првих неколико сложених бројева растављених на просте чиниоце:
- \( 4 = 2 \cdot 2 \)
- \( 6 = 2 \cdot 3 \)
- \( 15 = 3 \cdot 5 \)
Растави број 14 на просте чиниоце.
Број 14 је дељив са простим бројевима 2 и 7.
Одговор: \( 14 = 2 \cdot 7 \)
Одговор: \( 14 = 2 \cdot 7 \)
Када се приликом растављања неки прост чинилац понавља више пута, тај производ можемо записати краће, у облику степена.
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ пута}} \]
Овај запис се чита: „\( a \) на \( n \)”, где се чинилац \( a \) појављује \( n \) пута.
Број 49 представљамо као \( 7 \cdot 7 \), што краће записујемо као \( 7^2 \) („седам на квадрат”).
Број 125 представљамо као \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \), што краће записујемо као \( 5^3 \) („пет на трећи”).
Број 125 представљамо као \( 5 \cdot 5 \cdot 5 \), што краће записујемо као \( 5^3 \) („пет на трећи”).
Запиши краће, помоћу степена, следећи производ: \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \).
Број 2 се множи сам са собом 4 пута.
Одговор: \( 2^4 \)
Одговор: \( 2^4 \)
Број се може раставити на више начина: директним растављањем на мање чиниоце, помоћу стабла чинилаца или, најчешће, помоћу вертикалне линије.
Стабло чинилаца: Број се грана на два чиниоца, а затим се сваки сложен чинилац даље грана све док на крајевима грана не остану само прости бројеви.
Вертикална линија: Напишемо број и са десне стране повучемо вертикалну линију.
- Са десне стране пишемо најмањи могући прост број којим је број са леве стране дељив.
- Резултат дељења пишемо испод почетног броја (са леве стране).
- Понављамо поступак дељења са добијеним количником све док са леве стране не добијемо број 1.
- Прости чиниоци су сви бројеви записани са десне стране линије.
Број који растављаш на просте чиниоце увек делиш искључиво простим бројевима!
Растављање броја 330 помоћу вертикалне линије:
\[ \begin{array}{r|l} 330 & 2 \quad (330 : 2 = 165) \\ 165 & 3 \quad (165 : 3 = 55) \\ 55 & 5 \quad (55 : 5 = 11) \\ 11 & 11 \quad (11 : 11 = 1) \\ 1 & \\ \end{array} \]
Дакле, \( 330 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \).
Растави број 18 помоћу вертикалне линије.
\[ \begin{array}{r|l} 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} \]
Одговор: \( 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2 \)
Задаци за вежбање
Лак: Представи број 28 у облику производа простих чинилаца.
\( 28 = 4 \cdot 7 = 2 \cdot 2 \cdot 7 \).
Одговор: \( 28 = 2^2 \cdot 7 \)
Одговор: \( 28 = 2^2 \cdot 7 \)
Средњи: Растави број 360 на просте чиниоце користећи вертикалну линију и запиши резултат користећи степене.
\[ \begin{array}{r|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array} \]
Чиниоци су три двојке, две тројке и једна петица.
Одговор: \( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
Одговор: \( 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \)
Тежак: Производ три узастопна природна броја је 504. Који су то бројеви? (Упутство: Растави број на просте чиниоце, па их групиши)
Прво растављамо 504 на просте чиниоце:
\[ \begin{array}{r|l} 504 & 2 \\ 252 & 2 \\ 126 & 2 \\ 63 & 3 \\ 21 & 3 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ \end{array} \]
\( 504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \)
Сада треба да групишемо ове чиниоце тако да добијемо три узастопна броја.
Један од чинилаца је 7. Да видимо шта можемо добити од осталих: \( 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) и \( 3 \cdot 3 = 9 \).
Дакле, имамо бројеве 7, 8 и 9. Они јесу узастопни.
Одговор: То су бројеви 7, 8 и 9.
Сада треба да групишемо ове чиниоце тако да добијемо три узастопна броја.
Један од чинилаца је 7. Да видимо шта можемо добити од осталих: \( 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) и \( 3 \cdot 3 = 9 \).
Дакле, имамо бројеве 7, 8 и 9. Они јесу узастопни.
Одговор: То су бројеви 7, 8 и 9.
