Најважније из лекције
Проширивање: Множење бројиоца и имениоца истим бројем (\( \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \)). Вредност разломка остаје иста.
Скраћивање: Дељење бројиоца и имениоца истим бројем (\( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)). Ако се не може даље скратити, разломак је несводљив.
Упоређивање:
Скраћивање: Дељење бројиоца и имениоца истим бројем (\( \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)). Ако се не може даље скратити, разломак је несводљив.
Упоређивање:
- Исти имениоци: већи је онај са већим бројиоцем (\( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \)).
- Исти бројиоци: већи је онај са мањим имениоцем (\( \frac{4}{5} > \frac{4}{9} \)).
- Различити: Прошири их до заједничког имениоца (НЗС), па онда упореди.
Разломци могу имати различите бројиоце и имениоце, а да притом представљају исту вредност (исти део целине).
Ако се дељеник и делилац (бројилац и именилац) помноже или поделе истим бројем, вредност разломка се не мења.
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \quad \text{и} \quad \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \]
Половина целине се може записати на више начина:
\[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} \]
Проширити разломак значи помножити његов бројилац и именилац истим природним бројем \( n \) (\( n > 1 \)).
Проширени разломак је једнак почетном разломку.
Проширивање разломка \( \frac{3}{7} \) бројем 2:
\[ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14} \]
Ово се често краће записује као: \( \frac{3}{7}^{(2} = \frac{6}{14} \).
Прошири разломак \( \frac{5}{8} \) бројем 4.
Множимо и бројилац и именилац бројем 4:
\[ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{20}{32} \]
Скратити разломак значи поделити његов бројилац и именилац истим природним бројем \( n \) (\( n > 1 \)) који је њихов заједнички делилац.
Несводљив (неукратив) разломак: Разломак који се више не може скратити, јер су његов бројилац и именилац узајамно прости бројеви (немају заједничких делилаца осим броја 1).
Скраћивање разломка \( \frac{21}{35} \). Заједнички делилац за 21 и 35 је 7:
\[ \frac{21}{35} = \frac{21 : 7}{35 : 7} = \frac{3}{5} \]
Ово се често записује прецртавањем: \( \frac{21^3}{35_5} = \frac{3}{5} \).
Уместо тражења највећег заједничког делиоца (НЗД), бројилац и именилац можеш раставити на чиниоце и постепено скраћивати исте чиниоце.
\[ \frac{180}{600} = \frac{18 \cdot 10}{60 \cdot 10} = \frac{18}{60} = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 10} = \frac{3}{10} \]
Скрати разломак \( \frac{16}{24} \) тако да постане несводљив.
Највећи заједнички делилац за 16 и 24 је 8. Делимо оба броја са 8:
\[ \frac{16}{24} = \frac{16 : 8}{24 : 8} = \frac{2}{3} \]
(Можеш скраћивати и постепено: прво са 2, па опет са 2...)
Да бисмо утврдили који је од два разломка већи, мањи или су једнаки, користимо три основна правила:
1. Разломци једнаких именилаца: Већи је онај разломак који има већи бројилац.
Пример: \( \frac{4}{7} > \frac{2}{7} \)
Пример: \( \frac{4}{7} > \frac{2}{7} \)
2. Разломци једнаких бројилаца: Већи је онај разломак који има мањи именилац (јер се целина дели на мање делова, па су делови већи).
Пример: \( \frac{5}{8} > \frac{5}{12} \)
Пример: \( \frac{5}{8} > \frac{5}{12} \)
3. Разломци различитих именилаца и бројилаца: Прво их проширивањем или скраћивањем доводимо на једнаке имениоце (тражимо НЗС), а затим их упоређујемо по првом правилу.
Упореди разломке \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{3}{5} \).
Најмањи заједнички садржалац за 3 и 5 је 15. Проширујемо оба разломка: \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \] \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15} \] Како је \( \frac{10}{15} > \frac{9}{15} \), закључујемо да је \( \frac{2}{3} > \frac{3}{5} \).
Најмањи заједнички садржалац за 3 и 5 је 15. Проширујемо оба разломка: \[ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \] \[ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15} \] Како је \( \frac{10}{15} > \frac{9}{15} \), закључујемо да је \( \frac{2}{3} > \frac{3}{5} \).
Задаци за вежбање
Лак: Прошири разломак \( \frac{4}{9} \) бројем 5.
Множимо бројилац и именилац бројем 5:
\[ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45} \]
Средњи: Дати су разломци \( \frac{7}{11} \) и \( \frac{7}{15} \). Који разломак је мањи? Објасни зашто.
Разломци имају једнаке бројиоце (7). Према правилу, мањи је онај разломак који има већи именилац.
Дакле, \( \frac{7}{15} < \frac{7}{11} \).
Дакле, \( \frac{7}{15} < \frac{7}{11} \).
Средњи: Скрати разломак \( \frac{42}{54} \) до несводљивог разломка.
Тражимо НЗД за 42 и 54, што је 6 (или скраћујемо постепено прво са 2, па са 3).
\[ \frac{42}{54} = \frac{42 : 6}{54 : 6} = \frac{7}{9} \]
Бројеви 7 и 9 су узајамно прости, па је ово несводљив разломак.
Тежак: Упореди разломке \( \frac{5}{6} \) и \( \frac{7}{9} \). Упиши одговарајући знак (\(<, >, =\)).
Имениоци су различити (6 и 9). Тражимо најмањи заједнички садржалац НЗС(6, 9) = 18.
Проширујемо први разломак са 3: \( \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18} \).
Проширујемо други разломак са 2: \( \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18} \).
Пошто је \( \frac{15}{18} > \frac{14}{18} \), закључујемо да је \( \frac{5}{6} > \frac{7}{9} \).
Проширујемо први разломак са 3: \( \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18} \).
Проширујемо други разломак са 2: \( \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18} \).
Пошто је \( \frac{15}{18} > \frac{14}{18} \), закључујемо да је \( \frac{5}{6} > \frac{7}{9} \).
