7.2. Конструкције Осносиметричних Тачака и Фигура

Цртање правоугаоника \( MNPQ \) и осе симетрије \( s \)

Прво ћемо нацртати правоугаоник \( MNPQ \). Према захтеву задатка, оса симетрије \( s \) је права која пролази кроз несуседна темена \( M \) и \( P \). Ова права представља дијагоналу правоугаоника.
1. Нацртај правоугаоник MNPQ. Постави теме M у доњем левом углу, N горе лево, P горе десно, Q доле десно (у смеру супротном од казаљке на сату). Означи сва темена M, N, P, Q. 2. Нацртај праву s која пролази кроз темена M и P. Означи ову праву са 's'. Ово је оса симетрије. 3. Нацртај испрекидану дуж из тачке N која је нормална на праву s. Нека је N1 тачка пресека ове дужи и праве s. Прикажи симбол правог угла код N1. Означи тачку N1. 4. Нацртај испрекидану дуж из тачке Q која је нормална на праву s. Нека је Q1 тачка пресека ове дужи и праве s. Прикажи симбол правог угла код Q1. Означи тачку Q1. 5. Продужи испрекидану нормалу NN1 преко праве s. На продужетку, одреди тачку N' тако да је N1 средиште дужи NN' (тј. растојање од N1 до N' је једнако растојању од N1 до N). Означи тачку N'. 6. Продужи испрекидану нормалу QQ1 преко праве s. На продужетку, одреди тачку Q' тако да је Q1 средиште дужи QQ' (тј. растојање од Q1 до Q' је једнако растојању од Q1 до Q). Означи тачку Q'. 7. Спој темена M, N', P, Q' пуним линијама: дужима MN', N'P, PQ' и Q'M. Ово формира осносиметричну слику правоугаоника MNPQ. Темена M и P су сопствене слике (M'=M, P'=P).

Одређивање слика тачака које припадају оси

Према особинама осне симетрије, свака тачка која се налази на оси симетрије пресликава се у саму себе. Пошто темена \( M \) и \( P \) припадају правој \( s \), њихове симетричне слике су: \[ M_1 \equiv M \] \[ P_1 \equiv P \]

Конструкција слике темена \( N \)

Да бисмо пронашли слику темена \( N \), потребно је конструисати тачку \( N_1 \) са друге стране осе \( s \): 1. Поставимо иглу шестара у тачку \( M \) и измеримо растојање до тачке \( N \). Опишемо лук са друге стране осе \( s \). 2. Затим поставимо иглу шестара у тачку \( P \) и измеримо растојање до тачке \( N \). Опишемо лук који сече претходни лук. 3. Пресечна тачка ова два лука је тачка \( N_1 \). Код правоугаоника који није квадрат, ова тачка ће се налазити "изван" или на месту где би била темена другог подударног правоугаоника. Приметићемо да ће због особина правоугаоника слика тачке \( N \) заправо бити тачка \( Q \) само ако је правоугаоник квадрат. У општем случају, то је нова тачка.

Конструкција слике темена \( Q \)

На исти начин конструишемо слику темена \( Q \), коју обележавамо са \( Q_1 \): 1. Користимо шестар да пренесемо растојања \( MQ \) и \( PQ \) на другу страну осе \( s \). 2. Пресек лукова одређује тачку \( Q_1 \).

Цртање слике правоугаоника

Спајањем добијених тачака \( M_1, N_1, P_1, Q_1 \) добијамо четвороугао који је симетричан почетном правоугаонику у односу на дијагоналу \( MP \). Добијена фигура \( M_1N_1P_1Q_1 \) је такође правоугаоник подударан почетном.
Из тачака N и Q конструишите нормале на праву s. Помоћу шестара пренесите растојања од тачака до осе на супротну страну. Означите нове тачке као N_1 и Q_1. Повежите тачке M, N_1, P и Q_1 да бисте добили слику правоугаоника.

Оса \( s \) пролази кроз \( M \) и \( P \). \[ M \in s \implies M_1 = M \] \[ P \in s \implies P_1 = P \] Тачке \( N_1 \) и \( Q_1 \) добијамо конструкцијом нормала из \( N \) и \( Q \) на \( s \) и преношењем растојања: \[ N \xrightarrow{\sigma_s} N_1, \quad Q \xrightarrow{\sigma_s} Q_1 \] Резултат: Правоугаоник \( MN_1PQ_1 \).