7.5. Симетрала Угла

Да бисмо поделили угао на четири једнака дела, користићемо основну геометријску конструкцију симетрале угла. Симетрала угла је права која пролази кроз теме угла и дели га на два једнака дела. Узастопном применом ове конструкције, поделићемо угао прво на пола, а затим сваку половину још једном на пола.

Корак 1: Цртање тупог угла

Помоћу лењира нацртаћемо произвољан туп угао \( \angle pOq \). Туп угао је угао чија је мера већа од \( 90^\circ \), а мања од \( 180^\circ \).
Нацртај тачку \( O \) као теме угла. Из тачке \( O \) нацртај две полуправе, \( Op \) и \( Oq \). Полуправа \( Op \) треба да се протеже хоризонтално удесно од тачке \( O \). Полуправа \( Oq \) треба да се протеже горе и улево од тачке \( O \), тако да угао \( \angle pOq \) буде туп, приближно између \( 120^\circ \) и \( 150^\circ \). Обе полуправе треба да буду видљиве дужине око 4-5 јединица од тачке \( O \). Означи тачку \( O \) као теме. Означи смер полуправе \( Op \) са 'p' и смер полуправе \( Oq \) са 'q', постављајући 'p' на крају полуправе \( Op \) и 'q' на крају полуправе \( Oq \).

Корак 2: Конструкција прве симетрале (\( s_1 \))

Прво ћемо конструисати симетралу која дели почетни угао \( \angle pOq \) на два једнака дела. 1. Постави иглу шестара у теме \( O \) и опиши лук произвољног полупречника који сече краке \( p \) и \( q \). Означимо пресечне тачке са \( A \) и \( B \). 2. Из тачке \( A \) опиши кружни лук у унутрашњој области угла. 3. Са истим отвором шестара, из тачке \( B \) опиши други кружни лук тако да пресече први. Означимо пресек са \( S_1 \). 4. Лењиром повуци праву која пролази кроз тачке \( O \) и \( S_1 \). То је симетрала \( s_1 \).
Нацртај кружни лук са центром у O који сече оба крака. Из тачака пресека на крацима (A и B) опиши два мања лука истог полупречника који се секу унутар угла у тачки S_1. Повуци полуправу Os_1. Ова линија сада дели почетни туп угао на два једнака дела.

Корак 3: Дељење на четири дела конструкцијом симетрала \( s_2 \) и \( s_3 \)

Сада имамо два једнака угла: \( \angle pOs_1 \) и \( \angle s_1Oq \). Сваки од њих ћемо поново поделити симетралом. 1. Први лук који смо нацртали сече симетралу \( s_1 \) у тачки \( C \). 2. Конструиши симетралу \( s_2 \) угла \( \angle pOs_1 \) користећи тачке \( A \) и \( C \) као центре за нове лукове. Права \( Os_2 \) дели овај угао на два једнака дела. 3. Конструиши симетралу \( s_3 \) угла \( \angle s_1Oq \) користећи тачке \( C \) и \( B \) као центре за нове лукове. Права \( Os_3 \) дели овај угао на два једнака дела.
Користећи постојеће тачке пресека на краку p (тачка A) и на првој симетрали s_1 (тачка C), конструиши симетралу s_2. Затим, користећи тачке пресека на s_1 (тачка C) и краку q (тачка B), конструиши симетралу s_3. На финалном цртежу се виде три полуправе (s_2, s_1, s_3) које почетни угао деле на 4 једнака дела.

Корак 4: Закључак

Конструктивним путем смо повукли три симетрале \( s_1 \), \( s_2 \) и \( s_3 \), чиме је почетни туп угао подељен на четири мања, међусобно једнака угла: \[ \angle pOs_2 = \angle s_2Os_1 = \angle s_1Os_3 = \angle s_3Oq \]

\[ \angle pOq > 90^\circ \] \[ s_1 = s_{\angle pOq} \implies \angle pOs_1 = \angle s_1Oq = \frac{1}{2} \angle pOq \] \[ s_2 = s_{\angle pOs_1} \implies \angle pOs_2 = \angle s_2Os_1 = \frac{1}{2} \angle pOs_1 \] \[ s_3 = s_{\angle s_1Oq} \implies \angle s_1Os_3 = \angle s_3Oq = \frac{1}{2} \angle s_1Oq \] \[ \angle pOs_2 = \angle s_2Os_1 = \angle s_1Os_3 = \angle s_3Oq = \frac{1}{4} \angle pOq \]