Најважније из лекције
Проценат: \( 1\% \) представља стоти део нечега (\( \frac{1}{100} \)). За рачунање процента од датог броја користимо множење (нпр. \( 20\% \) од 50 је \( 0,2 \cdot 50 = 10 \)).
Аритметичка средина: Добија се када се збир свих вредности подели њиховим укупним бројем. Просек се увек налази између најмање и највеће вредности.
Размера: Однос два броја \( a : b \) чија је вредност разломак \( \frac{a}{b} \). Може се скраћивати и проширивати као разломак. Важно: приликом одређивања размере, величине увек морају бити у истим мерним јединицама!
Аритметичка средина: Добија се када се збир свих вредности подели њиховим укупним бројем. Просек се увек налази између најмање и највеће вредности.
Размера: Однос два броја \( a : b \) чија је вредност разломак \( \frac{a}{b} \). Може се скраћивати и проширивати као разломак. Важно: приликом одређивања размере, величине увек морају бити у истим мерним јединицама!
Процентима изражавамо број стотих делова неке величине. Један проценат представља један стоти део неке целине.
\[ 1\% = \frac{1}{100} = 0,01 \]
\[ p\% = \frac{p}{100} \]
Проценте лако можемо претворити у разломке или децималне бројеве:
\( 25\% = 25 : 100 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0,25 \)
\( 12,6\% = 12,6 : 100 = 0,126 \)
\( 25\% = 25 : 100 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0,25 \)
\( 12,6\% = 12,6 : 100 = 0,126 \)
Запишите \( 40\% \) у облику несводљивог разломка и у облику децималног броја.
Одговор: \( 40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} = 0,4 \)
Део неке величине изражен у процентима рачуна се множењем тог процента (записаног у облику разломка или децималног броја) са укупном величином.
Снижење од \( 20\% \): Ако је производ коштао 1000 динара, његова цена је умањена за петину (\( 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5} = 0,2 \)).
Снижење износи: \( \frac{1}{5} \cdot 1000 = 200 \) динара.
Нова цена: \( 1000 - 200 = 800 \) динара.
Такође, нову цену можемо добити ако приметимо да она износи \( 80\% \) старе цене: \( 0,8 \cdot 1000 = 800 \) динара.
Снижење износи: \( \frac{1}{5} \cdot 1000 = 200 \) динара.
Нова цена: \( 1000 - 200 = 800 \) динара.
Такође, нову цену можемо добити ако приметимо да она износи \( 80\% \) старе цене: \( 0,8 \cdot 1000 = 800 \) динара.
Цена производа је 500 динара. Колика ће бити цена након поскупљења од \( 10\% \)?
Поскупљење износи \( 10\% \cdot 500 = \frac{10}{100} \cdot 500 = 50 \) динара.
Нова цена је \( 500 + 50 = 550 \) динара.
Одговор: 550 динара.
Нова цена је \( 500 + 50 = 550 \) динара.
Одговор: 550 динара.
Аритметичка средина \( n \) бројева једнака је количнику збира тих бројева и укупног броја сабирака \( n \).
За два броја \( a \) и \( b \): \( \frac{a + b}{2} \)
За три броја \( a, b \) и \( c \): \( \frac{a + b + c}{3} \)
За три броја \( a, b \) и \( c \): \( \frac{a + b + c}{3} \)
Аритметичка средина датих бројева не може бити мања од најмањег од тих бројева, нити већа од највећег од њих.
Аритметичка средина бројева 11, 12 и 13:
\[ \frac{11 + 12 + 13}{3} = \frac{36}{3} = 12 \]
Просечна висина две девојчице је 110 cm. Ако је једна од њих висока 105 cm, колика је висина друге девојчице?
Поставимо једначину где је \( x \) висина друге девојчице:
\( \frac{105 + x}{2} = 110 \)
\( 105 + x = 220 \)
\( x = 115 \)
Одговор: 115 cm.
\( \frac{105 + x}{2} = 110 \)
\( 105 + x = 220 \)
\( x = 115 \)
Одговор: 115 cm.
Размера (однос) два броја различита од нуле јесте количник тих бројева. Означава се са \( a : b \) (читамо: „\( a \) према \( b \)”).
Вредност размере \( a : b \) јесте разломак \( \frac{a}{b} \). Вредност показује колико је пута први члан већи (или мањи) од другог.
Вредност размере се не мења ако се оба члана помноже или поделе истим бројем који је различит од нуле (као код проширивања и скраћивања разломака).
Када одређујете размеру две величине, оне морају бити изражене истом јединицом мере! Сама размера је неименован број.
Израчунавање вредности размере \( 3 \text{ g} : 0,12 \text{ kg} \):
Прво претварамо килограме у граме: \( 0,12 \text{ kg} = 120 \text{ g} \).
\( 3 \text{ g} : 120 \text{ g} = 3 : 120 = 1 : 40 \)
Прво претварамо килограме у граме: \( 0,12 \text{ kg} = 120 \text{ g} \).
\( 3 \text{ g} : 120 \text{ g} = 3 : 120 = 1 : 40 \)
Упростите размеру \( 45 : 198 \).
Оба броја можемо поделити са 9 (јер им је збир цифара дељив са 9).
\( (45 : 9) : (198 : 9) = 5 : 22 \)
Одговор: \( 5 : 22 \)
\( (45 : 9) : (198 : 9) = 5 : 22 \)
Одговор: \( 5 : 22 \)
Размера се често користи за поделу неке целине на делове у датом односу, као и за представљање растојања на географским картама и плановима.
Подела у датој размери: Поделити 700 динара у односу \( 2 : 3 \).
Укупан број делова на које делимо целину је \( 2 + 3 = 5 \).
Вредност једног дела је \( 700 : 5 = 140 \) динара.
Први део добија \( 2 \cdot 140 = 280 \) динара, а други део \( 3 \cdot 140 = 420 \) динара.
Укупан број делова на које делимо целину је \( 2 + 3 = 5 \).
Вредност једног дела је \( 700 : 5 = 140 \) динара.
Први део добија \( 2 \cdot 140 = 280 \) динара, а други део \( 3 \cdot 140 = 420 \) динара.
Размера на мапи: Размера \( 1 : 1\,000\,000 \) значи да \( 1 \text{ cm} \) на карти представља \( 1\,000\,000 \text{ cm} \) у природи.
\( 1\,000\,000 \text{ cm} = 10\,000 \text{ m} = 10 \text{ km} \).
\( 1\,000\,000 \text{ cm} = 10\,000 \text{ m} = 10 \text{ km} \).
Дуж дужине 35 cm треба поделити тачком у размери \( 5 : 2 \). Колике су дужине тих делова?
Укупан број делова је \( 5 + 2 = 7 \).
Један део износи \( 35 : 7 = 5 \text{ cm} \).
Први део: \( 5 \cdot 5 = 25 \text{ cm} \).
Други део: \( 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm} \).
Одговор: Дужине су 25 cm и 10 cm.
Један део износи \( 35 : 7 = 5 \text{ cm} \).
Први део: \( 5 \cdot 5 = 25 \text{ cm} \).
Други део: \( 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm} \).
Одговор: Дужине су 25 cm и 10 cm.
Задаци за вежбање
Лак: Израчунајте аритметичку средину бројева 4, 8 и 15.
\( \frac{4 + 8 + 15}{3} = \frac{27}{3} = 9 \)
Одговор: Аритметичка средина је 9.
Одговор: Аритметичка средина је 9.
Средњи: Цена патика је била 4000 динара, а затим је снижена за \( 15\% \). Колика је нова цена патика?
Снижење износи \( 15\% \) од 4000 динара:
\( \frac{15}{100} \cdot 4000 = 0,15 \cdot 4000 = 600 \) динара.
Нова цена је \( 4000 - 600 = 3400 \) динара.
Одговор: Нова цена је 3400 динара.
\( \frac{15}{100} \cdot 4000 = 0,15 \cdot 4000 = 600 \) динара.
Нова цена је \( 4000 - 600 = 3400 \) динара.
Одговор: Нова цена је 3400 динара.
Тежак: Ученик тренутно има оцене 3, 5 и 4. Коју оцену треба да добије из следећег одговора да би његова аритметичка средина (просек) била тачно 4,5?
Означимо нову оцену са \( x \). Укупно ће имати 4 оцене, па постављамо једначину:
\( \frac{3 + 5 + 4 + x}{4} = 4,5 \)
\( \frac{12 + x}{4} = 4,5 \)
\( 12 + x = 4,5 \cdot 4 \)
\( 12 + x = 18 \)
\( x = 6 \)
Како су оцене у школи ограничене на вредности од 1 до 5, немогуће је да само једном додатном оценом ученик постигне просек 4,5 (морао би да добије оцену 6).
Одговор: Немогуће је постићи просек 4,5 само једном додатном оценом.
\( \frac{3 + 5 + 4 + x}{4} = 4,5 \)
\( \frac{12 + x}{4} = 4,5 \)
\( 12 + x = 4,5 \cdot 4 \)
\( 12 + x = 18 \)
\( x = 6 \)
Како су оцене у школи ограничене на вредности од 1 до 5, немогуће је да само једном додатном оценом ученик постигне просек 4,5 (морао би да добије оцену 6).
Одговор: Немогуће је постићи просек 4,5 само једном додатном оценом.
Тежак: Растојање између два града на мапи размере \( 1 : 500\,000 \) износи 12 cm. Колико је то растојање у природи изражено у километрима?
Размера \( 1 : 500\,000 \) значи да је стварно растојање \( 500\,000 \) пута веће од оног на мапи.
\( 12 \text{ cm} \cdot 500\,000 = 6\,000\,000 \text{ cm} \).
Претварамо центиметре у метре (делимо са 100): \( 60\,000 \text{ m} \).
Претварамо метре у километре (делимо са 1000): \( 60 \text{ km} \).
Одговор: Растојање је 60 km.
\( 12 \text{ cm} \cdot 500\,000 = 6\,000\,000 \text{ cm} \).
Претварамо центиметре у метре (делимо са 100): \( 60\,000 \text{ m} \).
Претварамо метре у километре (делимо са 1000): \( 60 \text{ km} \).
Одговор: Растојање је 60 km.
