Најважније из лекције
- Супротни бројеви су парови попут \( -3 \) и \( 3 \): на бројевној правој су на једнаком растојању од нуле, али на различитим странама (симетрични у односу на \( O(0) \)).
- Двоструки минус се поништава: \( -(-a) = a \). Број супротан нули је \( 0 \).
- Апсолутна вредност \( |a| \) је растојање тачке \( a \) од координатног почетка, па никада није негативна.
- Правило: \( |a| = a \) ако је \( a>0 \); \( \; |0|=0 \); \( \; |a| = -a \) ако је \( a<0 \). Супротни бројеви имају једнаку апсолутну вредност: \( |a| = |-a| \).
- Примери: \( |5| = 5 \), \( \; |-5| = 5 \), \( \; |0| = 0 \).
За сваки цео број постоји њему супротан број. Примери парова узајамно супротних бројева су \( -3 \) и \( 3 \), \( -2 \) и \( 2 \), \( -1 \) и \( 1 \).
Тачке бројевне праве које одговарају супротним бројевима налазе се на различитим странама координатног почетка \( O(0) \), али на једнаком растојању од њега. Због тога су такве тачке симетричне у односу на координатни почетак.
Ако је \( a \) позитиван цео број, онда је \( -a \) негативан цео број. Број супротан броју \( -a \) је поново \( a \), па пишемо: \( -(-a) = a \).
Цели бројеви \( a \) и \( -a \) јесу узајамно супротни бројеви. Број супротан броју \( 0 \) јесте сам \( 0 \) (нула је сама себи супротна).
Пример. Одреди супротне бројеве:
Број супротан броју \( 5 \) је \( -5 \).
Број супротан броју \( -7 \) је \( -(-7) = 7 \).
Број супротан броју \( 0 \) је \( 0 \).
Број супротан броју \( 5 \) је \( -5 \).
Број супротан броју \( -7 \) је \( -(-7) = 7 \).
Број супротан броју \( 0 \) је \( 0 \).
Знак „минус” испред броја узима супротан број. Ако тај поступак применимо два пута, вратимо се на почетни број.
\[ -(-a) = a \]
Пример. Одреди вредности:
а) \( -(-1) = 1 \) (супротан броју \( -1 \) је \( 1 \));
б) \( -\big(-(-1)\big) = -1 \) (унутрашњи део \( -(-1) = 1 \), па је \( -1 \)).
а) \( -(-1) = 1 \) (супротан броју \( -1 \) је \( 1 \));
б) \( -\big(-(-1)\big) = -1 \) (унутрашњи део \( -(-1) = 1 \), па је \( -1 \)).
Тачке бројевне праве придружене супротним бројевима налазе се на различитим странама координатног почетка и на једнаком растојању од њега.
Апсолутна вредност целог броја \( a \) јесте растојање тачке која је на бројевној правој придружена броју \( a \) од координатног почетка.
Користи се ознака \( |a| \) и чита се: „апсолутна вредност броја \( a \)”.
Пошто је апсолутна вредност растојање, она никада није негативан број.
Пример.
Тачке које одговарају бројевима \( -1 \) и \( 1 \) на једнаком су растојању од нуле, па је \( |-1| = 1 \) и \( |1| = 1 \).
Слично, \( |-2| = 2 \) и \( |2| = 2 \).
Тачке које одговарају бројевима \( -1 \) и \( 1 \) на једнаком су растојању од нуле, па је \( |-1| = 1 \) и \( |1| = 1 \).
Слично, \( |-2| = 2 \) и \( |2| = 2 \).
Супротни бројеви имају једнаку апсолутну вредност: \( |a| = |-a| \).
Апсолутну вредност целог броја одређујемо према његовом знаку:
\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{ако је } a \text{ позитиван број} \\ 0, & \text{ако је } a = 0 \\ -a, & \text{ако је } a \text{ негативан број} \end{cases} \]
| Број \( a \) | Знак | Апсолутна вредност \( |a| \) |
|---|---|---|
| позитиван (нпр. \( 5 \)) | \( + \) | тај исти број: \( |5| = 5 \) |
| нула (\( 0 \)) | \( 0 \) | нула: \( |0| = 0 \) |
| негативан (нпр. \( -5 \)) | \( - \) | њему супротан број: \( |-5| = -(-5) = 5 \) |
Пример. \( |10| = 10 \); \( |0| = 0 \); \( |-15| = -(-15) = 15 \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Одреди број супротан датом броју: а) \( 8 \); б) \( -12 \); в) \( 0 \).
Супротан број добијамо тако што промени страну у односу на нулу (промени знак):
а) супротан броју \( 8 \) је \( -8 \);
б) супротан броју \( -12 \) је \( -(-12) = 12 \);
в) супротан броју \( 0 \) је \( 0 \).
Одговор: \( -8 \), \( \; 12 \), \( \; 0 \).
а) супротан броју \( 8 \) је \( -8 \);
б) супротан броју \( -12 \) је \( -(-12) = 12 \);
в) супротан броју \( 0 \) је \( 0 \).
Одговор: \( -8 \), \( \; 12 \), \( \; 0 \).
Средњи задатак: Израчунај: а) \( |-7| \); б) \( |6| \); в) \( -(-(-4)) \).
а) \( -7 \) је негативан број, па је његова апсолутна вредност њему супротан број: \( |-7| = 7 \).
б) \( 6 \) је позитиван број, па је \( |6| = 6 \).
в) Рачунамо изнутра: \( -(-4) = 4 \), затим \( -(4) = -4 \), дакле \( -(-(-4)) = -4 \).
Одговор: \( 7 \), \( \; 6 \), \( \; -4 \).
б) \( 6 \) је позитиван број, па је \( |6| = 6 \).
в) Рачунамо изнутра: \( -(-4) = 4 \), затим \( -(4) = -4 \), дакле \( -(-(-4)) = -4 \).
Одговор: \( 7 \), \( \; 6 \), \( \; -4 \).
Тежак задатак: Одреди све целе бројеве \( x \) за које важи: а) \( |x| = 5 \); б) \( |x| = 0 \); в) \( |x| = -5 \).
а) Апсолутна вредност \( 5 \) имају два броја једнако удаљена од нуле — сам број и њему супротни: \( x = 5 \) или \( x = -5 \).
б) Само нула је на растојању \( 0 \) од координатног почетка, па је \( x = 0 \).
в) Апсолутна вредност никада није негативан број, па не постоји такав цео број \( x \) — задатак нема решења.
Одговор: а) \( x = 5 \) или \( x = -5 \); б) \( x = 0 \); в) нема решења.
б) Само нула је на растојању \( 0 \) од координатног почетка, па је \( x = 0 \).
в) Апсолутна вредност никада није негативан број, па не постоји такав цео број \( x \) — задатак нема решења.
Одговор: а) \( x = 5 \) или \( x = -5 \); б) \( x = 0 \); в) нема решења.
