Најважније из лекције
- У једнакокраком троуглу углови на основици су једнаки; наспрам једнаких страница леже једнаки углови (и обрнуто).
- Сви унутрашњи углови једнакостраничног троугла једнаки су и мере по \( 60^\circ \).
- Наспрам дуже странице троугла лежи већи угао, а наспрам већег угла лежи дужа страница.
- Странице \( a, b, c \) леже редом наспрам углова \( \alpha, \beta, \gamma \).
- Најдужа страница правоуглог троугла је хипотенуза — она лежи наспрам правог угла (\( 90^\circ \)), који је највећи.
Ако једнакокраки троугао \( ABC \) пресавијемо дуж његове осе симетрије (праве која пролази кроз врх \( C \)), поклопиће се тачке \( A \) и \( B \), краци \( AC \) и \( BC \), као и углови на основици \( \alpha \) и \( \beta \).
У једнакокраком троуглу углови налегли на основицу (углови при основици) су једнаки.
Наспрам једнаких страница троугла налазе се једнаки углови (и обрнуто: наспрам једнаких углова налазе се једнаке странице).
У једнакостраничном троуглу све три странице су једнаке, па су (наспрам једнаких страница) и сва три унутрашња угла једнака.
Сви унутрашњи углови једнакостраничног троугла су једнаки, а мера сваког од њих је \( 60^\circ \).
Нека су сва три угла једнака и означена са \( \alpha \). Пошто је збир унутрашњих углова троугла \( 180^\circ \):
\[ \alpha + \alpha + \alpha = 180^\circ \]
\[ 3\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 60^\circ \]
Уобичајено је да се у троуглу \( \triangle ABC \) странице \( BC \), \( CA \) и \( AB \) редом обележавају са \( a \), \( b \) и \( c \), а углови \( \angle CAB \), \( \angle ABC \) и \( \angle BCA \) редом са \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \). При томе страница \( a \) лежи наспрам угла \( \alpha \), страница \( b \) наспрам угла \( \beta \), а страница \( c \) наспрам угла \( \gamma \).
Наспрам дуже странице троугла налази се већи угао.
Наспрам већег угла троугла налази се дужа страница.
Као последица важи и: наспрам једнаких углова налазе се једнаке странице, а наспрам једнаких страница налазе се једнаки углови.
Нека су странице троугла \( BC = 6\,\text{cm} \), \( CA = 8\,\text{cm} \) и \( AB = 10\,\text{cm} \). Пошто је \( AB \) најдужа страница, наспрам ње (у темену \( C \)) налази се највећи угао, а наспрам најкраће странице \( BC \) (у темену \( A \)) налази се најмањи угао.
Највећи угао сваког правоуглог троугла је прав угао, мере \( 90^\circ \). Наспрам њега налази се најдужа страница — хипотенуза.
Прав угао (\( 90^\circ \)) је највећи у правоуглом троуглу јер су преостала два угла оштра (мања од \( 90^\circ \)) — њихов збир је такође \( 90^\circ \). Зато је страница наспрам правог угла (хипотенуза) најдужа страница правоуглог троугла.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Један угао налегао на основицу једнакокраког троугла је \( \alpha = 70^\circ \). Колики су остали унутрашњи углови тог троугла?
Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки, па је и други угао на основици \( \beta = 70^\circ \).
Трећи угао (\( \gamma \), при врху) рачунамо из збира унутрашњих углова троугла: \[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \] \[ 70^\circ + 70^\circ + \gamma = 180^\circ \] \[ \gamma = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \] Одговор: Други угао на основици је \( 70^\circ \), а угао при врху је \( 40^\circ \).
Трећи угао (\( \gamma \), при врху) рачунамо из збира унутрашњих углова троугла: \[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \] \[ 70^\circ + 70^\circ + \gamma = 180^\circ \] \[ \gamma = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \] Одговор: Други угао на основици је \( 70^\circ \), а угао при врху је \( 40^\circ \).
Средњи задатак: Поређај од најкраће до најдуже странице троугла \( \triangle ABC \) ако су његови унутрашњи углови \( \alpha = 95^\circ \) и \( \beta = 47^\circ \).
Прво одредимо трећи угао \( \gamma \) из збира унутрашњих углова:
\[ 95^\circ + 47^\circ + \gamma = 180^\circ \implies \gamma = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ \]
Наспрам већег угла лежи дужа страница. Углове поређамо по величини: \( \gamma = 38^\circ < \beta = 47^\circ < \alpha = 95^\circ \).
Наспрам угла \( \gamma \) је страница \( c \), наспрам \( \beta \) страница \( b \), а наспрам \( \alpha \) страница \( a \).
Одговор: \( c < b < a \) (од најкраће до најдуже).
Наспрам угла \( \gamma \) је страница \( c \), наспрам \( \beta \) страница \( b \), а наспрам \( \alpha \) страница \( a \).
Одговор: \( c < b < a \) (од најкраће до најдуже).
Тежак задатак: У једнакокраком троуглу угао на основици је \( 40^\circ \). Да ли је у том троуглу дужи крак или основица?
Углови на основици су једнаки, па су оба по \( 40^\circ \). Нека је \( \gamma \) угао при врху:
\[ 40^\circ + 40^\circ + \gamma = 180^\circ \implies \gamma = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \]
Угао при врху (\( 100^\circ \)) већи је од угла на основици (\( 40^\circ \)). Наспрам већег угла лежи дужа страница. Угао при врху лежи наспрам основице, а угао на основици наспрам крака.
Одговор: Дужа је основица од крака.
Одговор: Дужа је основица од крака.
