II.4. Однос Између Страница И Углова Троугла

Да бисмо попунили табелу, користићемо два основна геометријска правила која важе за сваки троугао: 1. Збир унутрашњих углова троугла је увек \( 180^\circ \), односно \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \). 2. Наспрам већег угла налази се дужа страница, а наспрам мањег угла краћа страница. Стандардно се страница \( BC \) налази наспрам угла \( \alpha \), страница \( AC \) наспрам угла \( \beta \), а страница \( AB \) наспрам угла \( \gamma \). Први ред табеле: Дати су углови \( \alpha = 53^\circ \) и \( \gamma = 41^\circ \). Користимо формулу за збир углова да израчунамо непознати угао \( \beta \): \[ \beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma) \] \[ \beta = 180^\circ - (53^\circ + 41^\circ) = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ \] Упоређујемо углове: \( 41^\circ < 53^\circ < 86^\circ \), што значи \( \gamma < \alpha < \beta \). Наспрам највећег угла \( \beta = 86^\circ \) налази се најдужа страница, а то је \( AC \). Наспрам најмањег угла \( \gamma = 41^\circ \) налази се најкраћа страница, а то је \( AB \). Други ред табеле: Дати су углови \( \beta = 63^\circ \) и \( \gamma = 27^\circ \). Израчунавамо непознати угао \( \alpha \): \[ \alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) \] \[ \alpha = 180^\circ - (63^\circ + 27^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] Ово је правоугли троугао. Упоређујемо углове: \( 27^\circ < 63^\circ < 90^\circ \), што значи \( \gamma < \beta < \alpha \). Наспрам највећег угла \( \alpha = 90^\circ \) налази се најдужа страница \( BC \). Наспрам најмањег угла \( \gamma = 27^\circ \) налази се најкраћа страница \( AB \). Трећи ред табеле: Дати су углови \( \alpha = 118^\circ \) и \( \beta = 25^\circ \). Израчунавамо непознати угао \( \gamma \): \[ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) \] \[ \gamma = 180^\circ - (118^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ \] Упоређујемо углове: \( 25^\circ < 37^\circ < 118^\circ \), што значи \( \beta < \gamma < \alpha \). Наспрам највећег угла \( \alpha = 118^\circ \) налази се најдужа страница \( BC \). Наспрам најмањег угла \( \beta = 25^\circ \) налази се најкраћа страница \( AC \). Попуњена табела изгледа овако: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \gamma & \text{Најдужа страница троугла } ABC & \text{Најкраћа страница троугла } ABC \\ \hline 53^\circ & 86^\circ & 41^\circ & AC & AB \\ \hline 90^\circ & 63^\circ & 27^\circ & BC & AB \\ \hline 118^\circ & 25^\circ & 37^\circ & BC & AC \\ \hline \end{array} \]

\[ \beta = 180^\circ - (53^\circ + 41^\circ) = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ \Rightarrow \gamma < \alpha < \beta \Rightarrow AB < BC < AC \] \[ \alpha = 180^\circ - (63^\circ + 27^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \Rightarrow \gamma < \beta < \alpha \Rightarrow AB < AC < BC \] \[ \gamma = 180^\circ - (118^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ \Rightarrow \beta < \gamma < \alpha \Rightarrow AC < AB < BC \] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \alpha & \beta & \gamma & \text{Најдужа страница троугла } ABC & \text{Најкраћа страница троугла } ABC \\ \hline 53^\circ & 86^\circ & 41^\circ & AC & AB \\ \hline 90^\circ & 63^\circ & 27^\circ & BC & AB \\ \hline 118^\circ & 25^\circ & 37^\circ & BC & AC \\ \hline \end{array} \]