Најважније из лекције
- Подударни троуглови се могу потпуно поклопити. Ознака: \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \) (темена истим редоследом).
- Код подударних троуглова су све одговарајуће странице једнаке и сви одговарајући углови једнаки.
- Подударност доказујемо помоћу четири става: СУС (две странице и захваћени угао), УСУ (страница и налегли углови), ССС (све три странице), ССУ (две странице и угао наспрам дуже од њих).
- Из подударности следи једнакост свих преосталих страница и углова.
Два троугла су подударна ако један можемо померањем (без промене облика и величине) у потпуности да поклопимо са другим. Тада се свака тачка једног троугла поклопи са одговарајућом тачком другог.
Подударност троуглова \( ABC \) и \( EFG \) записујемо: \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \). Темена пишемо истим редоследом којим се поклапају: \( A \leftrightarrow E,\; B \leftrightarrow F,\; C \leftrightarrow G \).
Ако су два троугла подударна, онда су све одговарајуће странице једнаке и сви одговарајући углови једнаки.
За \( \triangle ABC \cong \triangle EFG \) важи:
- углови: \( \angle BAC = \angle FEG,\; \angle CBA = \angle GFE,\; \angle ACB = \angle EGF \);
- странице: \( AB = EF,\; AC = EG,\; BC = FG \).
Важи и обрнуто: ако два троугла имају једнаке све одговарајуће странице и једнаке све одговарајуће углове, онда су подударна.
Да бисмо доказали да су два троугла подударна, није неопходно да проверимо свих шест елемената. Довољно је показати једнакост само неких елемената — то нам омогућавају ставови подударности.
Став СУС (страница–угао–страница): ако су две странице и њима захваћени угао једног троугла једнаки са двема страницама и њима захваћеним углом другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
Став УСУ (угао–страница–угао): ако су једна страница и углови налегли на ту страницу једног троугла једнаки једној страници и на њој налеглим угловима другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
Став ССС (страница–страница–страница): ако су све три странице једног троугла једнаке страницама другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
Став ССУ (страница–страница–угао): ако су две странице и угао наспрам дуже од њих једног троугла једнаки двема страницама и углу наспрам дуже од њих другог троугла, онда су ти троуглови подударни.
Пажња: код става ССУ угао мора бити наспрам дуже странице. Тврђење „ако су два угла једног троугла једнака двама угловима другог, онда су троуглови подударни“ није увек тачно (углови не одређују величину троугла).
Дате су странице и захваћени угао: \( AB = 4\text{ cm},\; AC = 3\text{ cm},\; \angle CAB = 75^\circ \). Ако у другом троуглу важи \( DE = 4\text{ cm},\; DF = 3\text{ cm},\; \angle FDE = 75^\circ \), онда су, по ставу СУС, троуглови подударни:
\[ \triangle ABC \cong \triangle DEF \]
па су и све остале одговарајуће странице и углови једнаки, нпр. \( BC = EF \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Троуглови \( ABC \) и \( DEF \) су подударни, при чему је \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \). Ако је \( AB = 5\text{ cm} \) и \( \angle ABC = 40^\circ \), одреди дужину странице \( DE \) и меру угла \( \angle DEF \).
Код подударних троуглова одговарајуће странице и углови су једнаки. Из редоследа темена \( A\leftrightarrow D,\; B\leftrightarrow E,\; C\leftrightarrow F \) следи:
страница \( DE \) одговара страници \( AB \), па је \( DE = AB = 5\text{ cm} \);
угао \( \angle DEF \) одговара углу \( \angle ABC \), па је \( \angle DEF = 40^\circ \).
Одговор: \( DE = 5\text{ cm} \), \( \angle DEF = 40^\circ \).
страница \( DE \) одговара страници \( AB \), па је \( DE = AB = 5\text{ cm} \);
угао \( \angle DEF \) одговара углу \( \angle ABC \), па је \( \angle DEF = 40^\circ \).
Одговор: \( DE = 5\text{ cm} \), \( \angle DEF = 40^\circ \).
Средњи задатак: У троугловима \( SRT \) и \( MNP \) важи: \( ST = MP,\; RT = NP \) и \( \angle STR = \angle MPN \). Докажи да је \( SR = MN \).
Посматрамо дате елементе:
\( ST = MP \) (страница);
\( \angle STR = \angle MPN \) (угао захваћен страницама \( ST \) и \( RT \));
\( RT = NP \) (страница).
Имамо две странице и њима захваћен угао, па по ставу СУС следи \( \triangle SRT \cong \triangle MNP \).
Пошто су троуглови подударни, једнаке су им и остале одговарајуће странице, па је \( SR = MN \).
Одговор: \( SR = MN \) (доказано ставом СУС).
\( ST = MP \) (страница);
\( \angle STR = \angle MPN \) (угао захваћен страницама \( ST \) и \( RT \));
\( RT = NP \) (страница).
Имамо две странице и њима захваћен угао, па по ставу СУС следи \( \triangle SRT \cong \triangle MNP \).
Пошто су троуглови подударни, једнаке су им и остале одговарајуће странице, па је \( SR = MN \).
Одговор: \( SR = MN \) (доказано ставом СУС).
Тежак задатак: Дат је правоугли троугао \( ABC \) са правим углом код темена \( B \) и правоугли троугао \( EBD \) са правим углом код темена \( B \). Ако је \( BC = BD \) и \( AC = ED \), докажи да је \( \angle BAC = \angle BED \).
Упоредимо елементе троуглова \( ABC \) и \( EBD \):
\( BC = BD \) (дато) — то су катете;
\( AC = ED \) (дато) — то су хипотенузе, а хипотенуза је дужа од катете;
дакле имамо две странице (катету и хипотенузу) и угао наспрам дуже од њих (наспрам хипотенузе стоји прав угао: \( \angle CBA = \angle DBE = 90^\circ \)).
По ставу ССУ следи \( \triangle ABC \cong \triangle EBD \).
Из подударности су одговарајући углови једнаки, па је \( \angle BAC = \angle BED \).
Одговор: \( \angle BAC = \angle BED \) (доказано ставом ССУ).
\( BC = BD \) (дато) — то су катете;
\( AC = ED \) (дато) — то су хипотенузе, а хипотенуза је дужа од катете;
дакле имамо две странице (катету и хипотенузу) и угао наспрам дуже од њих (наспрам хипотенузе стоји прав угао: \( \angle CBA = \angle DBE = 90^\circ \)).
По ставу ССУ следи \( \triangle ABC \cong \triangle EBD \).
Из подударности су одговарајући углови једнаки, па је \( \angle BAC = \angle BED \).
Одговор: \( \angle BAC = \angle BED \) (доказано ставом ССУ).
