Најважније из лекције
- Подударност као алат: када докажемо да су два троугла подударна (\( \cong \)), знамо да су им једнаке све одговарајуће странице и углови. Користимо ставове СУС, УСУ, ССС и ССУ.
- Симетрије: централносиметрична и осносиметрична слика дужи је дуж једнаке дужине, а слика троугла је подударан троугао.
- Симетрала дужи: свака њена тачка једнако је удаљена од крајева дужи (\( AX = BX \)).
- Симетрала угла: свака њена тачка једнако је удаљена од оба крака угла.
- Недоступно растојање: конструишемо помоћни троугао подударан траженом, па измеримо доступну страницу — она је једнака траженом растојању.
Два троугла су подударна ако се могу поклопити, тј. ако имају једнаке све одговарајуће странице и све одговарајуће углове. Пишемо \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \).
Подударност троуглова је алат за доказивање: када докажемо да су два троугла подударна, тада знамо да су и све њихове одговарајуће странице и углови међусобно једнаки. Тако можемо доказати једнакост дужи и углова, па чак и одредити растојања која не можемо непосредно измерити.
Ставови (правила) подударности која користимо: СУС (страница–угао–страница), УСУ (угао–страница–угао), ССС (три странице) и ССУ (две странице и угао према већој страници).
Централносиметрична и осносиметрична слика једне дужи је дуж једнаке дужине, а слика троугла је троугао подударан датом троуглу.
Ово доказујемо тако што уочимо два троугла (оригинал и слику) и покажемо да су подударни — одатле следи једнакост одговарајућих страница и углова.
Нека је \( A_1B_1 \) централносиметрична слика дужи \( AB \) у односу на центар \( S \). Тада је \( SA = SA_1 \), \( SB = SB_1 \) и \( \angle ASB = \angle A_1SB_1 \) (унакрсни углови). По ставу СУС је
\[ \triangle SAB \cong \triangle SA_1B_1 \Rightarrow AB = A_1B_1 . \]
Симетрала дужи је права која је нормална на дуж и пролази кроз њено средиште (полови дуж на два једнака дела).
Свака тачка симетрале дужи једнако је удаљена од крајева те дужи.
Нека је \( S \) средиште дужи \( AB \), а права \( X S \) њена симетрала (\( \angle XSA = \angle XSB = 90^\circ \)). За троуглове \( ASX \) и \( BSX \) важи: \( AS = BS \), заједничка страница \( XS = XS \) и \( \angle XSA = \angle XSB \). По ставу СУС:
\[ \triangle ASX \cong \triangle BSX \Rightarrow AX = BX . \]
Дакле, тачка \( X \) са симетрале једнако је удаљена од \( A \) и \( B \).
Симетрала угла је полуправа која полази из темена угла и дели тај угао на два једнака дела.
Свака тачка симетрале угла једнако је удаљена од оба крака тог угла.
Нека је полуправа \( pOq \) симетрала угла код темена \( O \), а тачка \( X \) на њој. Из \( X \) спустимо нормале на оба крака, у подножјима \( A \) и \( B \). За троуглове \( OAX \) и \( OBX \) важи: \( \angle AOX = \angle BOX \) (симетрала), \( \angle XAO = \angle XBO = 90^\circ \) (нормале) и заједничка страница \( OX \). По ставу УСУ:
\[ \triangle OAX \cong \triangle OBX \Rightarrow AX = BX . \]
Дакле, растојања тачке \( X \) до кракова угла су једнака.
Када растојање између две тачке не можемо директно измерити (нпр. преко реке или до недоступног места), конструишемо помоћни троугао подударан траженом, па на терену измеримо страницу коју можемо досегнути.
Поступак: направимо помоћни троугао чије су одговарајуће странице и углови једнаки страницама и угловима недоступног троугла. По неком ставу подударности (СУС, УСУ, ССС) закључујемо да су троуглови подударни, па је тражена дуж једнака дужи коју смо измерили у помоћном троуглу.
Планинари из кампа \( K \) крећу у супротним смеровима: \( A \) иде \( 6 \text{ km} \) у једном смеру, \( B \) иде \( 6 \text{ km} \) у супротном смеру под истим углом. Пошто су \( KA = KB \), одговарајући углови једнаки и заједничка тачка \( K \), троуглови су подударни, па је удаљеност од сваког планинара до камп-тачке једнака (\( KA = KB \)).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Тачка \( M \) припада симетрали дужи \( AB \). Растојање од тачке \( M \) до краја \( A \) износи \( 5 \text{ cm} \). Колико је тачка \( M \) удаљена од краја \( B \)?
Свака тачка симетрале дужи једнако је удаљена од оба краја те дужи.
Зато је \( MB = MA = 5 \text{ cm} \).
Одговор: Тачка \( M \) удаљена је \( 5 \text{ cm} \) од краја \( B \).
Зато је \( MB = MA = 5 \text{ cm} \).
Одговор: Тачка \( M \) удаљена је \( 5 \text{ cm} \) од краја \( B \).
Средњи задатак: Дуж \( A_1B_1 \) је централносиметрична слика дужи \( AB \) у односу на центар \( S \). Ако је \( AB = 7 \text{ cm} \), колика је дужина дужи \( A_1B_1 \)? Образложи применом подударности троуглова.
Централном симетријом је \( SA = SA_1 \) и \( SB = SB_1 \), а углови \( \angle ASB \) и \( \angle A_1SB_1 \) су унакрсни, па су једнаки.
По ставу СУС следи \( \triangle SAB \cong \triangle SA_1B_1 \), одакле је \( A_1B_1 = AB \).
Зато је \( A_1B_1 = 7 \text{ cm} \).
Одговор: \( A_1B_1 = 7 \text{ cm} \).
По ставу СУС следи \( \triangle SAB \cong \triangle SA_1B_1 \), одакле је \( A_1B_1 = AB \).
Зато је \( A_1B_1 = 7 \text{ cm} \).
Одговор: \( A_1B_1 = 7 \text{ cm} \).
Тежак задатак: Тачка \( X \) припада симетрали угла код темена \( O \). Из тачке \( X \) спуштене су нормале на крак угла, у подножју \( A \), и на други крак, у подножју \( B \). Докажи да су растојања \( XA \) и \( XB \) једнака.
Посматрамо троуглове \( OAX \) и \( OBX \).
1) \( \angle AOX = \angle BOX \) — јер \( OX \) дели угао на два једнака дела (симетрала угла).
2) \( \angle XAO = \angle XBO = 90^\circ \) — јер су \( XA \) и \( XB \) нормале на краке.
3) \( OX = OX \) — заједничка страница оба троугла.
Троуглови се поклапају у једној страници и два налегла угла, па по ставу УСУ: \[ \triangle OAX \cong \triangle OBX \Rightarrow XA = XB . \] Одговор: Растојања \( XA \) и \( XB \) су једнака, што значи да је свака тачка симетрале угла једнако удаљена од његових кракова.
1) \( \angle AOX = \angle BOX \) — јер \( OX \) дели угао на два једнака дела (симетрала угла).
2) \( \angle XAO = \angle XBO = 90^\circ \) — јер су \( XA \) и \( XB \) нормале на краке.
3) \( OX = OX \) — заједничка страница оба троугла.
Троуглови се поклапају у једној страници и два налегла угла, па по ставу УСУ: \[ \triangle OAX \cong \triangle OBX \Rightarrow XA = XB . \] Одговор: Растојања \( XA \) и \( XB \) су једнака, што значи да је свака тачка симетрале угла једнако удаљена од његових кракова.
