IV.3. Примена Подударности Троуглова

Корак 1: Скица и означавање

Нека је \( ABC \) једнакокраки троугао са основицом \( AB \) и краковима \( AC = BC \). Висина која одговара краку \( BC \) је дуж \( AA' \), а висина која одговара краку \( AC \) је дуж \( BB' \), где су \( A' \) и \( B' \) подножја висина.
Нацртај једнакокраки троугао \( ABC \) са основицом \( AB \). Из темена \( A \) нацртај дуж \( h_a \) нормалну на крак \( BC \) и означи подножје са \( A' \). Из темена \( B \) нацртај дуж \( h_b \) нормалну на крак \( AC \) и означи подножје са \( B' \). Код тачака \( A' \) и \( B' \) означи прав угао. Треба да докажемо да је \( AA' = BB' \). Докази ће се радити преко подударности троуглова \( ABA' \) и \( BAB' \).

Корак 2: Углови на основици

Углови на основици једнакокраког троугла су једнаки, па је \[ \angle CAB = \angle CBA = \alpha. \] Како су углови на основици оштри, подножја \( A' \) и \( B' \) налазе се на крацима \( BC \) и \( AC \). Зато је \[ \angle ABA' = \angle CBA = \alpha \quad \text{и} \quad \angle BAB' = \angle CAB = \alpha, \] па је \( \angle ABA' = \angle BAB' \).

Корак 3: Преостали угао

Троуглови \( ABA' \) и \( BAB' \) су правоугли, јер је \( \angle AA'B = \angle BB'A = 90^\circ \). Збир оштрих углова у правоуглом троуглу је \( 90^\circ \), па је \[ \angle BAA' = 90^\circ - \angle ABA' = 90^\circ - \alpha, \] \[ \angle ABB' = 90^\circ - \angle BAB' = 90^\circ - \alpha. \] Дакле, \( \angle BAA' = \angle ABB' \).

Корак 4: Примена става УСУ

Посматрамо троуглове \( ABA' \) и \( BAB' \). Важи: \[ \left. \begin{matrix} \angle BAA' = \angle ABB' \\ AB = BA \ \text{(заједничка страница)} \\ \angle ABA' = \angle BAB' \end{matrix} \right\} \xrightarrow{УСУ} \Delta ABA' \cong \Delta BAB' \]

Корак 5: Последица подударности

Из \( \Delta ABA' \cong \Delta BAB' \) следи једнакост одговарајућих страница. Страница \( AA' \) лежи наспрам угла \( \angle ABA' \), а страница \( BB' \) наспрам једнаког угла \( \angle BAB' \). Зато је \[ AA' = BB'. \] Дакле, висине које одговарају крацима једнакокраког троугла једнаке су дужине.

\( \angle A = \angle B = \alpha \) (углови на основици) \( \angle BAA' = 90^\circ - \alpha = \angle ABB' \) \[ \left. \begin{matrix} \angle BAA' = \angle ABB' \\ AB = BA \\ \angle ABA' = \angle BAB' \end{matrix} \right\} \xrightarrow{УСУ} \Delta ABA' \cong \Delta BAB' \Rightarrow AA' = BB' \]