Да би клацкалица била у равнотежи, маса особе и њена удаљеност од ослонца морају бити обрнуто пропорционалне величине, што значи да производ масе и растојања са леве стране мора бити једнак производу масе и растојања са десне стране ослонца:
\[ m_1 \cdot d_1 = m_2 \cdot d_2 \]
Мама има масу \( m_{\text{M}} = 48\text{ kg} \) и налази се на месту \( \text{М} \), на удаљености \( d_{\text{M}} = 1\text{ m} \) од ослонца.
Производ за маму износи:
\[ m_{\text{M}} \cdot d_{\text{M}} = 48\text{ kg} \cdot 1\text{ m} = 48\text{ kg}\cdot\text{m} \]
Клацкалица ће бити у равнотежи ако је производ масе друге особе и њеног растојања од ослонца такође једнак \( 48\text{ kg}\cdot\text{m} \).
Са слике 6.4 очитавамо растојања осталих тачака од ослонца:
- Место А: \( d_{\text{А}} = \frac{1}{2}\text{ m} = 0,5\text{ m} \)
- Место Б: \( d_{\text{Б}} = 1\text{ m} \)
- Место В: \( d_{\text{В}} = 1\frac{1}{2}\text{ m} = 1,5\text{ m} \)
- Место Г: \( d_{\text{Г}} = 2\text{ m} \)
- Место Д: \( d_{\text{Д}} = 3\text{ m} \)
Масе осталих чланова породице су:
- Тата: \( m_{\text{Т}} = 72\text{ kg} \)
- Син: \( m_{\text{С}} = 24\text{ kg} \)
- Ћерка: \( m_{\text{Ћ}} = 16\text{ kg} \)
Провера понуђених одговора
а) Син седне на место А
Рачунамо производ за сина на месту А:
\[ m_{\text{С}} \cdot d_{\text{А}} = 24\text{ kg} \cdot \frac{1}{2}\text{ m} = 12\text{ kg}\cdot\text{m} \]
Пошто је \( 12 \ne 48 \), клацкалица није у равнотежи. Тврђење под а) је нетачно.
б) Ћерка седне на место Д
Рачунамо производ за ћерку на месту Д:
\[ m_{\text{Ћ}} \cdot d_{\text{Д}} = 16\text{ kg} \cdot 3\text{ m} = 48\text{ kg}\cdot\text{m} \]
Производ је једнак \( 48\text{ kg}\cdot\text{m} \), па јесте у равнотежи. Тврђење под б) је тачно.
в) Тата седне на место В
Рачунамо производ за тату на месту В:
\[ m_{\text{Т}} \cdot d_{\text{В}} = 72\text{ kg} \cdot 1\frac{1}{2}\text{ m} = 72 \cdot \frac{3}{2}\text{ kg}\cdot\text{m} = \frac{\cancel{72}^{36} \cdot 3}{\cancel{2}_1}\text{ kg}\cdot\text{m} = 108\text{ kg}\cdot\text{m} \]
Пошто је \( 108 \ne 48 \), клацкалица није у равнотежи. Тврђење под в) је нетачно.
г) Син седне на место Г
Рачунамо производ за сина на месту Г:
\[ m_{\text{С}} \cdot d_{\text{Г}} = 24\text{ kg} \cdot 2\text{ m} = 48\text{ kg}\cdot\text{m} \]
Производ је једнак \( 48\text{ kg}\cdot\text{m} \), па јесте у равнотежи. Тврђење под г) је тачно.
Тачни одговори су б) и г).
Величине \( x \) и \( y \) су обрнуто пропорционалне ако постоји константа \( k \ (k \neq 0) \) таква да је производ одговарајућих вредности сталан: \( x \cdot y = k \), одакле је \( y = \dfrac{k}{x} \). Број \( k \) зове се коефицијент обрнуте пропорционалности. Кључно својство: када се \( x \) повећа \( n \) пута, тада се \( y \) смањи \( n \) пута (и обрнуто). Пример: број дана за читање књиге обрнуто је пропорционалан броју страна прочитаних дневно.
Величине \( x \) и \( y \) су обрнуто пропорционалне ако постоји константа \( k \ (k \neq 0) \) таква да важи \( x \cdot y = k \).
\[ x \cdot y = k \qquad \Longleftrightarrow \qquad y = \frac{k}{x} \]
Константа \( k \) назива се коефицијент обрнуте пропорционалности; то је стални производ одговарајућих вредности (за разлику од директне, где је сталан количник).
Код обрнуто пропорционалних величина:
ако се једна величина повећа \( n \) пута, онда се друга смањи \( n \) пута;
ако се једна смањи \( n \) пута, онда се друга повећа \( n \) пута.
Производ одговарајућих вредности је увек исти број \( k \).
Дужине страница правоугаоника сталне површине су обрнуто пропорционалне: \( a \cdot b = k \).
Брзина и време потребно да се пређе исти пут су обрнуто пропорционални: \( v \cdot t = s \).
Задатке решавамо преко производа: из \( x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \) налазимо непознату (нпр. \( 2 \cdot 30 = 5 \cdot x \Rightarrow x = 12 \) дана).
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
