Најважније из лекције
- Површина фигуре је број јединичних фигура (најчешће квадрата) од којих се фигура састоји; она никада није негативна.
- Квадратни метар (\( \text{m}^2 \)) је квадрат странице \( 1 \text{ m} \). Мање јединице: \( \text{dm}^2, \text{cm}^2, \text{mm}^2 \); веће: \( \text{a}, \text{ha}, \text{km}^2 \).
- Свака јединица је \( 100 \) пута већа од прве наредне мање: \( 1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 \), \( 1 \text{ ha} = 100 \text{ a} \) итд. На већу јединицу делимо са \( 100 \), на мању множимо са \( 100 \).
- Подударне фигуре имају једнаке површине; обратно не мора да важи (једнаке површине не значе исти облик).
- Ако фигуру раставимо на делове, њена површина је збир површина делова: \( P = P_1 + P_2 + \dots \)
Површину геометријске фигуре можемо схватити као број јединичних фигура од којих се та фигура састоји.
За јединичну фигуру најчешће узимамо квадрат, али то може бити и нека друга фигура. Колико пута се јединична фигура „уклопи" у дату фигуру — толика је њена површина.
Ако за јединицу мере узмемо квадрат странице \( 1 \text{ cm} \), површину фигуре добијамо тако што пребројимо колико таквих квадрата испуњава фигуру.
Површина фигуре никада није негативан број.
Квадратни метар је квадрат чија је страница дужине \( 1 \text{ m} \).
Ознака за квадратни метар јесте \( \text{m}^2 \).
Пример. Ако је површина базена \( 48 \text{ m}^2 \), под можемо прекрити са \( 48 \) плоча које имају облик квадрата странице \( 1 \text{ m} \).
Јединице мање од квадратног метра су: квадратни дециметар (\( \text{dm}^2 \)), квадратни центиметар (\( \text{cm}^2 \)) и квадратни милиметар (\( \text{mm}^2 \)). Јединице веће од квадратног метра су: ар (\( \text{a} \)), хектар (\( \text{ha} \)) и квадратни километар (\( \text{km}^2 \)).
Свака јединица је сто пута већа од прве наредне мање јединице:
| Однос | Однос |
|---|---|
| \( 1 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2 \) | \( 1 \text{ a} = 100 \text{ m}^2 \) |
| \( 1 \text{ dm}^2 = 100 \text{ cm}^2 \) | \( 1 \text{ ha} = 100 \text{ a} \) |
| \( 1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2 \) | \( 1 \text{ km}^2 = 100 \text{ ha} \) |
Пошто је свака већа јединица 100 пута већа од прве мање, при преласку на једну јединицу веће — делимо са 100, а на једну јединицу мање — множимо са \( 100 \).
а) \( 336 \text{ mm}^2 = 336 : 100 \text{ cm}^2 = 3{,}36 \text{ cm}^2 \)
\( 3{,}36 \text{ cm}^2 = 3{,}36 : 100 \text{ dm}^2 = 0{,}0336 \text{ dm}^2 \)
\( 0{,}0336 \text{ dm}^2 = 0{,}0336 : 100 \text{ m}^2 = 0{,}000336 \text{ m}^2 \)
\( 3{,}36 \text{ cm}^2 = 3{,}36 : 100 \text{ dm}^2 = 0{,}0336 \text{ dm}^2 \)
\( 0{,}0336 \text{ dm}^2 = 0{,}0336 : 100 \text{ m}^2 = 0{,}000336 \text{ m}^2 \)
б) \( 300 \text{ cm}^2 = 3 \text{ dm}^2 = 0{,}03 \text{ m}^2 \)
в) \( 120 \text{ dm}^2 = 1{,}20 \text{ m}^2 = 0{,}012 \text{ a} \)
г) \( 71{,}4 \text{ a} = 7140 \text{ m}^2 \)
д) \( 1{,}5 \text{ ha} = 150 \text{ a} = 15\,000 \text{ m}^2 \)
в) \( 120 \text{ dm}^2 = 1{,}20 \text{ m}^2 = 0{,}012 \text{ a} \)
г) \( 71{,}4 \text{ a} = 7140 \text{ m}^2 \)
д) \( 1{,}5 \text{ ha} = 150 \text{ a} = 15\,000 \text{ m}^2 \)
Подударне фигуре имају једнаке површине.
Обратно не мора да важи: две фигуре могу имати једнаке површине, а да при том нису подударне. На пример, две различите фигуре могу обе имати површину \( 4 \text{ cm}^2 \), а да немају исти облик.
Ако се фигура растави на две или више фигура, њена површина једнака је збиру површина делова.
Правоугаоник можемо раставити на два правоугла троугла. Тада је површина правоугаоника једнака збиру површина та два троугла:
\[ P = P_1 + P_2 \]
Свака фигура која се добије слагањем (премештањем) тих делова има исту површину као полазни правоугаоник, јер је површина слике добијене слагањем једнака збиру површина њених делова.
Зато, кад желиш да одредиш површину неке фигуре, можеш је прво раставити на мање делове чије површине лакше одредиш, па их сабрати.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Јединична фигура је квадрат странице \( 1 \text{ cm} \). Нека фигура на мрежи прекрива тачно \( 8 \) таквих квадрата. Колика је њена површина?
Површина је број јединичних фигура од којих се фигура састоји.
Фигура садржи \( 8 \) јединичних квадрата странице \( 1 \text{ cm} \), а сваки има површину \( 1 \text{ cm}^2 \).
\[ P = 8 \cdot 1 \text{ cm}^2 = 8 \text{ cm}^2 \] Одговор: Површина фигуре је \( 8 \text{ cm}^2 \).
Фигура садржи \( 8 \) јединичних квадрата странице \( 1 \text{ cm} \), а сваки има површину \( 1 \text{ cm}^2 \).
\[ P = 8 \cdot 1 \text{ cm}^2 = 8 \text{ cm}^2 \] Одговор: Површина фигуре је \( 8 \text{ cm}^2 \).
Средњи задатак: Изрази у квадратним метрима: а) \( 8 \text{ dm}^2 \); б) \( 5{,}2 \text{ a} \).
а) Квадратни дециметар је \( 100 \) пута мањи од квадратног метра, па делимо са \( 100 \):
\[ 8 \text{ dm}^2 = 8 : 100 \text{ m}^2 = 0{,}08 \text{ m}^2 \]
б) Ар је \( 100 \) пута већи од квадратног метра, па множимо са \( 100 \):
\[ 5{,}2 \text{ a} = 5{,}2 \cdot 100 \text{ m}^2 = 520 \text{ m}^2 \]
Одговор: \( 8 \text{ dm}^2 = 0{,}08 \text{ m}^2 \) и \( 5{,}2 \text{ a} = 520 \text{ m}^2 \).
Тежак задатак: Фигура је растављена на три дела чије су површине \( P_1 = 2 \text{ cm}^2 \), \( P_2 = \dfrac{1}{2} \text{ cm}^2 \) и \( P_3 = 1\dfrac{1}{2} \text{ cm}^2 \). Колика је површина целе фигуре?
Ако се фигура растави на више делова, њена површина једнака је збиру површина тих делова:
\[ P = P_1 + P_2 + P_3 \]
\[ P = 2 + \frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \text{ cm}^2 \]
\[ P = 2 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4 \text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина целе фигуре је \( 4 \text{ cm}^2 \).
