Најважније из лекције
Кључни закључци:
• Децимални број преводимо у разломак тако што га запишемо са имениоцем 10, 100, 1000... и затим скратимо (нпр. \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)).
• Разломак преводимо у децимални запис проширивањем имениоца на декадну јединицу (ако је могуће) или дељењем бројиоца имениоцем (\( 3 : 4 = 0,75 \)).
• Децимални запис може бити коначан (има ограничен број децимала) или бесконачно периодичан (цифре се понављају у недоглед). Понављајуће цифре називамо периодом и обележавамо тачком или цртицом изнад њих (\( 0,333... = 0,\dot{3} \)).
• Децимални број преводимо у разломак тако што га запишемо са имениоцем 10, 100, 1000... и затим скратимо (нпр. \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)).
• Разломак преводимо у децимални запис проширивањем имениоца на декадну јединицу (ако је могуће) или дељењем бројиоца имениоцем (\( 3 : 4 = 0,75 \)).
• Децимални запис може бити коначан (има ограничен број децимала) или бесконачно периодичан (цифре се понављају у недоглед). Понављајуће цифре називамо периодом и обележавамо тачком или цртицом изнад њих (\( 0,333... = 0,\dot{3} \)).
Разломке дате у децималном запису преводимо у количнички запис \( \frac{a}{b} \) тако што децимални део запишемо у облику разломка чији је именилац декадна јединица (10, 100, 1000...), а затим тај разломак скратимо до несводљивог облика.
Примери:
\( 0,3 \) представља три десета дела, па се записује као \( \frac{3}{10} \).
\( 0,25 \) представља 25 стотих. Записујемо \( \frac{25}{100} \). Након скраћивања са 25, добијамо \( \frac{1}{4} \).
\( 8,7 \) има цео део 8 и 7 десетих. Може се записати као мешовити број \( 8\frac{7}{10} \) или као неправи разломак \( \frac{87}{10} \).
\( 0,3 \) представља три десета дела, па се записује као \( \frac{3}{10} \).
\( 0,25 \) представља 25 стотих. Записујемо \( \frac{25}{100} \). Након скраћивања са 25, добијамо \( \frac{1}{4} \).
\( 8,7 \) има цео део 8 и 7 десетих. Може се записати као мешовити број \( 8\frac{7}{10} \) или као неправи разломак \( \frac{87}{10} \).
Преведите децимални број \( 0,45 \) у разломак облика \( \frac{a}{b} \) и скратите га.
Број \( 0,45 \) читамо као 45 стотих.
\[ 0,45 = \frac{45}{100} \]
Скраћивањем бројиоца и имениоца са 5 добијамо:
\[ \frac{45 : 5}{100 : 5} = \frac{9}{20} \]
Постоје два основна начина за превођење разломка из количничког у децимални запис: проширивање и дељење.
Проширивање до децималног разломка
Овај начин је могућ само када се именилац може проширити до неке декадне јединице (10, 100, 1000...).
Пример: \( \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5 \)
Овај начин је могућ само када се именилац може проширити до неке декадне јединице (10, 100, 1000...).
Пример: \( \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0,5 \)
Дељење бројиоца имениоцем
Разломачка црта представља дељење. Делимо бројилац имениоцем. Када се исцрпе цифре целог дела, пишемо децимални зарез у количнику и настављамо дељење дописивањем нула. Овај начин важи за све разломке.
Пример: \( 1 : 2 = 0,5 \)
Разломачка црта представља дељење. Делимо бројилац имениоцем. Када се исцрпе цифре целог дела, пишемо децимални зарез у количнику и настављамо дељење дописивањем нула. Овај начин важи за све разломке.
Пример: \( 1 : 2 = 0,5 \)
Преведите разломак \( \frac{3}{5} \) у децимални запис користећи методу проширивања.
Проширујемо разломак тако да именилац постане 10 (множимо са 2):
\[ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6 \]
Коначан децимални запис је запис у коме постоји коначан (ограничен) број децимала након децималног зареза.
Превођење \( \frac{7}{4} \) дељењем: \( 7 : 4 = 1,75 \). Ово је коначан децимални запис.
Бесконачно периодичан децимални запис је запис у коме се једна цифра или више цифара периодично и бесконачно понављају.
Превођење \( \frac{2}{3} \) дељењем: \( 2 : 3 = 0,666... \) Дељење се никада не завршава, а цифра 6 се стално понавља.
Цифре које се понављају чине период. Означавају се писањем тачкице изнад цифре (ако је једна) или извлачењем цртице изнад групе цифара.
\( 0,1111... = 0,\dot{1} \)
\( 2,1454545... = 2,1\overline{45} \)
\( 0,1111... = 0,\dot{1} \)
\( 2,1454545... = 2,1\overline{45} \)
Запишите број \( 0,428428428... \) користећи ознаку за период.
У овом броју се понавља група цифара 428. Зато цртицу пишемо изнад те три цифре:
\[ 0,\overline{428} \]
Учење ових вредности напамет може значајно убрзати рачунање.
| Количник | Запис \( \frac{a}{b} \) | Децимални запис |
|---|---|---|
| 1 : 2 | \( \frac{1}{2} \) | 0,5 |
| 1 : 4 | \( \frac{1}{4} \) | 0,25 |
| 3 : 4 | \( \frac{3}{4} \) | 0,75 |
| 1 : 5 | \( \frac{1}{5} \) | 0,2 |
| 2 : 5 | \( \frac{2}{5} \) | 0,4 |
| 1 : 8 | \( \frac{1}{8} \) | 0,125 |
| 1 : 10 | \( \frac{1}{10} \) | 0,1 |
Практични задаци
Лак: Преведите децимални број \( 0,8 \) у количнички запис \( \frac{a}{b} \) и скратите га до несводљивог разломка.
Број записујемо као 8 десетих:
\[ 0,8 = \frac{8}{10} \]
Скраћујемо са 2:
\[ \frac{8 : 2}{10 : 2} = \frac{4}{5} \]
Средњи: Преведите разломак \( \frac{11}{8} \) у децимални запис.
Користимо методу дељења:
\( 11 : 8 = 1,375 \)
\( -8 \)
---
\( \ \ 30 \)
\( -24 \)
---
\( \ \ \ \ 60 \)
\( \ \ -56 \)
---
\( \ \ \ \ \ \ 40 \)
\( \ \ \ \ -40 \)
---
\( \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \)
Одговор: \( 1,375 \)
\( 11 : 8 = 1,375 \)
\( -8 \)
---
\( \ \ 30 \)
\( -24 \)
---
\( \ \ \ \ 60 \)
\( \ \ -56 \)
---
\( \ \ \ \ \ \ 40 \)
\( \ \ \ \ -40 \)
---
\( \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \)
Одговор: \( 1,375 \)
Тежак: Преведите разломак \( \frac{8}{11} \) у децимални запис. Уколико је запис бесконачно периодичан, запишите га правилно помоћу ознаке за период.
Делимо бројилац имениоцем:
\( 8 : 11 = 0,7272... \)
\( -0 \)
---
\( 80 \)
\(-77 \)
---
\( \ \ 30 \)
\( -22 \)
---
\( \ \ \ \ 80 \)
\( \ \ -77 \)
---
\( \ \ \ \ \ \ 30 \)
Видимо да се остаци 8 и 3 стално смењују, што значи да се у количнику понавља група цифара 72.
Одговор: \( 0,\overline{72} \)
\( 8 : 11 = 0,7272... \)
\( -0 \)
---
\( 80 \)
\(-77 \)
---
\( \ \ 30 \)
\( -22 \)
---
\( \ \ \ \ 80 \)
\( \ \ -77 \)
---
\( \ \ \ \ \ \ 30 \)
Видимо да се остаци 8 и 3 стално смењују, што значи да се у количнику понавља група цифара 72.
Одговор: \( 0,\overline{72} \)
