Најважније из лекције
Тачке симетричне у односу на координатни почетак \( 0 \) одговарају супротним бројевима. За сваки рационалан број \( r \) важи \( -(-r) = r \), а бројеви \( r \) и \( -r \) су међусобно супротни: леже са супротних страна нуле и једнако су од ње удаљени. Апсолутна вредност \( |\,r\,| \) је растојање броја \( r \) од координатног почетка, па је увек позитиван број или нула: \( |\,r\,| = r \) за позитивно \( r \), \( |\,0\,| = 0 \), \( |\,r\,| = -r \) за негативно \( r \). Супротни бројеви имају једнаке апсолутне вредности, а важи и \( \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} \) (\( b \neq 0 \)).
Ако пресавијемо папир дуж праве \( s \) која пролази кроз координатни почетак (тачку \( 0 \)), тачке које се тада поклопе називамо симетричним тачкама.
На пример, тачке које одговарају бројевима \( -1{,}25 \) и \( 1{,}25 \), односно \( -\dfrac{3}{4} \) и \( \dfrac{3}{4} \), или \( -\dfrac{1}{2} \) и \( \dfrac{1}{2} \), симетричне су у односу на тачку која одговара броју \( 0 \).
Тачка која одговара броју \( 0 \) симетрична је сама себи.
Тачки на бројевној правој која је симетрична у односу на координатни почетак одговара супротан рационалан број.
За сваки рационалан број \( r \) важи:
\[ -(-r) = r \]
Рационални бројеви \( r \) и \( -r \) су међусобно супротни бројеви.
- За број \( r \) супротан број је \( -r \).
- За број \( -r \) супротан број је \( -(-r) = r \).
Пример 3.1. Супротан број:
- броју \( \dfrac{1}{2} \) је \( -\dfrac{1}{2} \);
- броју \( -\dfrac{3}{4} \) је \( \dfrac{3}{4} \);
- броју \( 0 \) је \( 0 \);
- броју \( -1{,}25 \) је \( 1{,}25 \).
Приметимо да супротни бројеви на бројевној правој:
- леже са супротних страна координатног почетка;
- једнако су удаљени од координатног почетка.
Апсолутна вредност рационалног броја \( r \) јесте растојање тачке која је на бројевној правој придружена броју \( r \) од координатног почетка.
Апсолутну вредност броја \( r \) означавамо са \( |\,r\,| \) и читамо: „апсолутна вредност броја \( r \)”.
Пошто је растојање увек ненегативно, важи:
- \( |\,r\,| = r \), ако је \( r \) позитиван број;
- \( |\,r\,| = 0 \), ако је \( r \) нула;
- \( |\,r\,| = -r \), ако је \( r \) негативан број.
Супротни бројеви имају једнаке апсолутне вредности (једнако су удаљени од координатног почетка).
Пример 3.2.
\[ \left|\,\tfrac{7}{8}\,\right| = \tfrac{7}{8}, \qquad \left|\,-\tfrac{7}{8}\,\right| = \tfrac{7}{8}, \qquad |\,0\,| = 0 \]
\[ |\,-6{,}25\,| = 6{,}25, \qquad \left|\,-10\tfrac{3}{17}\,\right| = 10\tfrac{3}{17}, \qquad |\,-1{,}5\,| = 1{,}5 \]
За рационалан број \( \dfrac{a}{b} \) (\( b \neq 0 \)) важи:
\[ \left|\,\frac{a}{b}\,\right| = \frac{|\,a\,|}{|\,b\,|} \]
Пример 3.3.
\[ \left|\,\frac{17}{25}\,\right| = \frac{|\,17\,|}{|\,25\,|} = \frac{17}{25}, \qquad \left|\,\frac{-2}{33}\,\right| = \frac{|\,-2\,|}{|\,33\,|} = \frac{2}{33} \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Одреди супротан број за: а) \( -\dfrac{2}{15} \); б) \( -(-17{,}2) \).
а) Супротан број броја \( -\dfrac{2}{15} \) добијамо променом знака:
\[ -\left(-\frac{2}{15}\right) = \frac{2}{15} \]
б) Прво средимо дати број: \( -(-17{,}2) = 17{,}2 \). Његов супротан број је \( -17{,}2 \).
Одговор: а) \( \dfrac{2}{15} \); б) \( -17{,}2 \).
Одговор: а) \( \dfrac{2}{15} \); б) \( -17{,}2 \).
Средњи задатак: Израчунај апсолутне вредности: а) \( \left|\,-\dfrac{1}{8}\,\right| \); б) \( |\,-16{,}77\,| \); в) \( \left|\,\dfrac{-5}{13}\,\right| \).
Апсолутна вредност је растојање од координатног почетка, па је она увек позитиван број или нула.
а) Број \( -\dfrac{1}{8} \) је негативан, па је \( \left|\,-\dfrac{1}{8}\,\right| = \dfrac{1}{8} \).
б) Број \( -16{,}77 \) је негативан, па је \( |\,-16{,}77\,| = 16{,}77 \).
в) Користимо правило \( \left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|} \): \[ \left|\,\frac{-5}{13}\,\right| = \frac{|\,-5\,|}{|\,13\,|} = \frac{5}{13} \] Одговор: а) \( \dfrac{1}{8} \); б) \( 16{,}77 \); в) \( \dfrac{5}{13} \).
а) Број \( -\dfrac{1}{8} \) је негативан, па је \( \left|\,-\dfrac{1}{8}\,\right| = \dfrac{1}{8} \).
б) Број \( -16{,}77 \) је негативан, па је \( |\,-16{,}77\,| = 16{,}77 \).
в) Користимо правило \( \left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|} \): \[ \left|\,\frac{-5}{13}\,\right| = \frac{|\,-5\,|}{|\,13\,|} = \frac{5}{13} \] Одговор: а) \( \dfrac{1}{8} \); б) \( 16{,}77 \); в) \( \dfrac{5}{13} \).
Тежак задатак: Да ли је тачна једнакост? а) \( -\left(-\left(-2\tfrac{3}{5}\right)\right) = -2\tfrac{3}{5} \); б) \( -(-(-0{,}8)) = 0{,}8 \).
Свако писање знака „минус” испред броја мења тај број у његов супротан.
а) Полазимо од унутрашњег броја \( -2\tfrac{3}{5} \): \[ -\left(-2\tfrac{3}{5}\right) = 2\tfrac{3}{5}, \qquad -\left(2\tfrac{3}{5}\right) = -2\tfrac{3}{5} \] Дакле лева страна је \( -2\tfrac{3}{5} \), што је једнако десној страни. Једнакост је тачна.
б) Полазимо од унутрашњег броја \( -0{,}8 \): \[ -(-0{,}8) = 0{,}8, \qquad -(0{,}8) = -0{,}8 \] Дакле лева страна је \( -0{,}8 \), а десна страна је \( 0{,}8 \). Пошто је \( -0{,}8 \neq 0{,}8 \), једнакост није тачна.
Одговор: а) тачна; б) није тачна.
а) Полазимо од унутрашњег броја \( -2\tfrac{3}{5} \): \[ -\left(-2\tfrac{3}{5}\right) = 2\tfrac{3}{5}, \qquad -\left(2\tfrac{3}{5}\right) = -2\tfrac{3}{5} \] Дакле лева страна је \( -2\tfrac{3}{5} \), што је једнако десној страни. Једнакост је тачна.
б) Полазимо од унутрашњег броја \( -0{,}8 \): \[ -(-0{,}8) = 0{,}8, \qquad -(0{,}8) = -0{,}8 \] Дакле лева страна је \( -0{,}8 \), а десна страна је \( 0{,}8 \). Пошто је \( -0{,}8 \neq 0{,}8 \), једнакост није тачна.
Одговор: а) тачна; б) није тачна.
