Најважније из лекције
- Зависност две директно пропорционалне величине приказујемо графиком у координатној равни — свакој вредности \( x \) одговара тачка \( (x, y) \).
- Све тачке таквог графика леже на једној правој која пролази кроз координатни почетак и није координатна оса. Важи и обрнуто.
- Ако је \( y = kx\ (k \neq 0) \), график је права кроз координатни почетак: за \( k > 0 \) пролази кроз први и трећи квадрант, а за \( k < 0 \) кроз други и четврти квадрант.
- Две тачке одређују праву, па је за цртање графика довољно наћи још једну тачку осим координатног почетка (нпр. за \( x = 1 \) добијамо \( y = k \)).
Ако су две величине директно пропорционалне, њихову зависност можемо приказати графиком у координатној равни. Свакој вредности величине \( x \) одговара тачка са координатама \( (x, y) \).
Количина брашна (\( y \), у грамима) директно је пропорционална броју кифли (\( x \)). За сваку кифлу треба \( 50 \) грама брашна.
Ако тачке \( (1,50),\ (2,100),\ (3,150),\ (4,200),\ (5,250) \) представимо у координатној равни, све оне припадају једној правој која садржи координатни почетак.
| \( x \) (кифле) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( y \) (грами) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
Све тачке графика зависности две директно пропорционалне величине припадају правој која садржи координатни почетак и није координатна оса.
И обрнуто: ако све тачке графика зависности две величине припадају правој која садржи координатни почетак и не поклапа се са \( x \)-осом или \( y \)-осом, онда су те две величине директно пропорционалне.
Дакле, по графику препознајемо директну пропорционалност овако: тачке морају лежати на једној правој, та права мора пролазити кроз координатни почетак, а притом не сме бити ни једна ни друга оса.
Ако је величина \( y \) директно пропорционална величини \( x \), онда постоји константа \( k\ (k \neq 0) \) таква да је \( y = kx \). Број \( k \) је коефицијент директне пропорционалности.
Ако је \( y = kx,\ k \neq 0 \), онда график зависности величине \( y \) од величине \( x \) припада правој која садржи координатни почетак и притом важи:
- ако је \( k > 0 \), та права пролази кроз први и трећи квадрант;
- ако је \( k < 0 \), та права пролази кроз други и четврти квадрант.
Кроз координатни почетак пролази бесконачно много правих, али две различите тачке одређују тачно једну праву. Зато је за цртање графика довољно наћи још једну тачку различиту од координатног почетка.
Пример: \( y = 2x \). Овде је \( k = 2 > 0 \). Једна тачка је координатни почетак \( (0,0) \). За \( x = 1 \) добијамо \( y = 2 \cdot 1 = 2 \), па график садржи и тачку \( (1, 2) \). Права кроз \( (0,0) \) и \( (1,2) \) пролази кроз први и трећи квадрант.
Пример: \( y = -2x \). Овде је \( k = -2 < 0 \). Једна тачка је \( (0,0) \). За \( x = 1 \) добијамо \( y = -2 \cdot 1 = -2 \), па график садржи и тачку \( (1, -2) \). Права кроз \( (0,0) \) и \( (1,-2) \) пролази кроз други и четврти квадрант.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Величина \( y \) директно је пропорционална величини \( x \) и важи \( y = 3x \). Одреди тачку графика која одговара вредности \( x = 4 \) и реци кроз које квадранте пролази права.
За \( x = 4 \) рачунамо \( y \):
\[ y = 3 \cdot 4 = 12 \]
Дакле, график садржи тачку \( (4, 12) \).
Пошто је \( k = 3 > 0 \), права пролази кроз први и трећи квадрант.
Одговор: Тачка је \( (4, 12) \); права пролази кроз први и трећи квадрант.
Пошто је \( k = 3 > 0 \), права пролази кроз први и трећи квадрант.
Одговор: Тачка је \( (4, 12) \); права пролази кроз први и трећи квадрант.
Средњи задатак: Нацртај (одреди тачке) график зависности величине \( y \) од величине \( x \) ако је \( y = -4x \). Наведи још једну тачку осим координатног почетка и одреди кроз које квадранте пролази права.
График сваке зависности облика \( y = kx \) садржи координатни почетак \( (0,0) \).
Да бисмо добили другу тачку, узмимо \( x = 1 \): \[ y = -4 \cdot 1 = -4 \] Дакле, график садржи и тачку \( (1, -4) \). Права кроз тачке \( (0,0) \) и \( (1, -4) \) је тражени график.
Пошто је \( k = -4 < 0 \), права пролази кроз други и четврти квадрант.
Одговор: Тачке \( (0,0) \) и \( (1,-4) \); права пролази кроз други и четврти квадрант.
Да бисмо добили другу тачку, узмимо \( x = 1 \): \[ y = -4 \cdot 1 = -4 \] Дакле, график садржи и тачку \( (1, -4) \). Права кроз тачке \( (0,0) \) и \( (1, -4) \) је тражени график.
Пошто је \( k = -4 < 0 \), права пролази кроз други и четврти квадрант.
Одговор: Тачке \( (0,0) \) и \( (1,-4) \); права пролази кроз други и четврти квадрант.
Тежак задатак: Дате су вредности две величине у табели. Испитај да ли су величине \( x \) и \( y \) директно пропорционалне и, ако јесу, напиши правило облика \( y = kx \).
| \( x \) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| \( y \) | 3 | 6 | 9 |
Проверавамо количник \( y : x \) за сваки пар:
\[ 3 : 1 = 3, \quad 6 : 2 = 3, \quad 9 : 3 = 3 \]
Количник је увек исти (\( 3 \)), па су величине директно пропорционалне са коефицијентом \( k = 3 \).
Тачке \( (1,3),\ (2,6),\ (3,9) \) леже на једној правој која пролази кроз координатни почетак и није оса, што потврђује директну пропорционалност.
Одговор: Величине су директно пропорционалне и важи \( y = 3x \).
Тачке \( (1,3),\ (2,6),\ (3,9) \) леже на једној правој која пролази кроз координатни почетак и није оса, што потврђује директну пропорционалност.
Одговор: Величине су директно пропорционалне и важи \( y = 3x \).
