Корице уџбеника

V.5. Графички Приказ Директно Пропорционалних Величина

Решења + Понављање

Изабери решење задатка:

Задатак 5

Кратко решење

Под а)

Са графика на слици 5.9 очитавамо вредност за \( m = 1 \text{ kg} \): \[ Q = 1,6 \text{ N} \]

Под б)

Са графика на слици 5.9 очитавамо вредност за \( Q = 4,8 \text{ N} \): \[ m = 3 \text{ kg} \]

Под в)

Јачина гравитационог поља је \( g_M = \frac{Q}{m} \). За \( m = 1 \text{ kg} \) и \( Q = 1,6 \text{ N} \): \[ g_M = \frac{1,6}{1} = 1,6 \frac{\text{N}}{\text{kg}} \]

Под г)

Са графика за \( Q_M = 3,2 \text{ N} \) налазимо \( m = 2 \text{ kg} \). Тежина на Земљи се рачуна по формули \( Q_Z = m \cdot g_Z \), где је \( g_Z \approx 9,8 \frac{\text{N}}{\text{kg}} \). \[ Q_Z = 2 \cdot 9,8 = 19,6 \text{ N} \]

Детаљно решење

Корак 1: Анализа графика и очитавање вредности за случај а)

На слици 5.9 приказан је график директне пропорционалности између тежине \( Q \) и масе \( m \). Хоризонтална оса представља масу у килограмима (\( \text{kg} \)), а вертикална тежину у њутнима (\( \text{N} \)). Да бисмо одредили тежину тела масе \( 1 \text{ kg} \), на хоризонталној оси пронађемо број 1, попнемо се до тачке на графику, а затим очитамо вредност на вертикалној оси. Видимо да вредности \( 1 \text{ kg} \) одговара тежина од \( 1,6 \text{ N} \).

Под а)

Тежина тела масе \( 1 \text{ kg} \) на Месецу је \( Q = 1,6 \text{ N} \).

Корак 2: Очитавање вредности са графика за случај б)

У овом делу тражимо масу која одговара тежини од \( 4,8 \text{ N} \). На вертикалној оси (тежина) пронађемо вредност \( 4,8 \), кренемо хоризонтално до графика, а затим се спустимо на хоризонталну осу (маса). Видимо да тачки \( 4,8 \text{ N} \) на графику одговара маса од \( 3 \text{ kg} \).

Под б)

Маса тела које на Месецу има тежину \( 4,8 \text{ N} \) је \( m = 3 \text{ kg} \).

Корак 3: Израчунавање јачине гравитационог поља Месеца

Јачина гравитационог поља (\( g_M \)) представља коефицијент пропорционалности између тежине и масе, односно \( Q = m \cdot g_M \). Одавде је \( g_M = \frac{Q}{m} \). Користећи податке из првог корака (\( m = 1 \text{ kg} \), \( Q = 1,6 \text{ N} \)): \[ g_M = \frac{1,6 \text{ N}}{1 \text{ kg}} = 1,6 \frac{\text{N}}{\text{kg}} \]

Под в)

Јачина гравитационог поља Месеца износи \( 1,6 \frac{\text{N}}{\text{kg}} \).

Корак 4: Израчунавање тежине на Земљи

Прво морамо одредити масу тела чија је тежина на Месецу \( 3,2 \text{ N} \). Са графика видимо да тежини од \( 3,2 \text{ N} \) одговара маса од \( 2 \text{ kg} \). Пошто се маса тела не мења, на Земљи ће оно и даље имати масу \( m = 2 \text{ kg} \). Тежина на Земљи (\( Q_Z \)) израчунава се помоћу јачине Земљиног поља (\( g_Z \approx 9,8 \frac{\text{N}}{\text{kg}} \)): \[ Q_Z = m \cdot g_Z \] \[ Q_Z = 2 \text{ kg} \cdot 9,8 \frac{\text{N}}{\text{kg}} = 19,6 \text{ N} \]

Под г)

Тежина тог тела на Земљи је \( 19,6 \text{ N} \).

Кратак запис решења:

а) \( m = 1 \text{ kg} \Rightarrow Q = 1,6 \text{ N} \) б) \( Q = 4,8 \text{ N} \Rightarrow m = 3 \text{ kg} \) в) \( g_M = \frac{Q}{m} = \frac{1,6}{1} = 1,6 \frac{\text{N}}{\text{kg}} \) г) \( Q_M = 3,2 \text{ N} \Rightarrow m = 2 \text{ kg} \); \( Q_Z = 2 \cdot 9,8 = 19,6 \text{ N} \)

Најважније из лекције

  • Зависност две директно пропорционалне величине приказујемо графиком у координатној равни — свакој вредности \( x \) одговара тачка \( (x, y) \).
  • Све тачке таквог графика леже на једној правој која пролази кроз координатни почетак и није координатна оса. Важи и обрнуто.
  • Ако је \( y = kx\ (k \neq 0) \), график је права кроз координатни почетак: за \( k > 0 \) пролази кроз први и трећи квадрант, а за \( k < 0 \) кроз други и четврти квадрант.
  • Две тачке одређују праву, па је за цртање графика довољно наћи још једну тачку осим координатног почетка (нпр. за \( x = 1 \) добијамо \( y = k \)).
Ако су две величине директно пропорционалне, њихову зависност можемо приказати графиком у координатној равни. Свакој вредности величине \( x \) одговара тачка са координатама \( (x, y) \).
Количина брашна (\( y \), у грамима) директно је пропорционална броју кифли (\( x \)). За сваку кифлу треба \( 50 \) грама брашна.
\( x \) (кифле)12345
\( y \) (грами)50100150200250
Ако тачке \( (1,50),\ (2,100),\ (3,150),\ (4,200),\ (5,250) \) представимо у координатној равни, све оне припадају једној правој која садржи координатни почетак.
Графички приказ табеле за кифле у координатној равни. На хоризонталној оси је број кифли x, а на вертикалној количина брашна y. Тачке (1,50), (2,100), (3,150), (4,200) и (5,250) леже на једној правој која полази из координатног почетка и расте удесно навише.
Све тачке графика зависности две директно пропорционалне величине припадају правој која садржи координатни почетак и није координатна оса.
И обрнуто: ако све тачке графика зависности две величине припадају правој која садржи координатни почетак и не поклапа се са \( x \)-осом или \( y \)-осом, онда су те две величине директно пропорционалне.
Дакле, по графику препознајемо директну пропорционалност овако: тачке морају лежати на једној правој, та права мора пролазити кроз координатни почетак, а притом не сме бити ни једна ни друга оса.
Ако је величина \( y \) директно пропорционална величини \( x \), онда постоји константа \( k\ (k \neq 0) \) таква да је \( y = kx \). Број \( k \) је коефицијент директне пропорционалности.
Ако је \( y = kx,\ k \neq 0 \), онда график зависности величине \( y \) од величине \( x \) припада правој која садржи координатни почетак и притом важи:
  • ако је \( k > 0 \), та права пролази кроз први и трећи квадрант;
  • ако је \( k < 0 \), та права пролази кроз други и четврти квадрант.
Кроз координатни почетак пролази бесконачно много правих, али две различите тачке одређују тачно једну праву. Зато је за цртање графика довољно наћи још једну тачку различиту од координатног почетка.
Пример: \( y = 2x \). Овде је \( k = 2 > 0 \). Једна тачка је координатни почетак \( (0,0) \). За \( x = 1 \) добијамо \( y = 2 \cdot 1 = 2 \), па график садржи и тачку \( (1, 2) \). Права кроз \( (0,0) \) и \( (1,2) \) пролази кроз први и трећи квадрант.
Координатна раван са графиком праве y = 2x. Права пролази кроз координатни почетак (0,0) и кроз тачку (1,2), расте удесно навише и налази се у првом и трећем квадранту. Тачка (1,2) је истакнута, а испрекиданим линијама повезана са бројем 1 на x-оси и бројем 2 на y-оси.
Пример: \( y = -2x \). Овде је \( k = -2 < 0 \). Једна тачка је \( (0,0) \). За \( x = 1 \) добијамо \( y = -2 \cdot 1 = -2 \), па график садржи и тачку \( (1, -2) \). Права кроз \( (0,0) \) и \( (1,-2) \) пролази кроз други и четврти квадрант.
Координатна раван са графиком праве y = -2x. Права пролази кроз координатни почетак (0,0) и кроз тачку (1,-2), опада удесно наниже и налази се у другом и четвртом квадранту. Тачка (1,-2) је истакнута, а испрекиданим линијама повезана са бројем 1 на x-оси и бројем -2 на y-оси.

Задаци за вежбање

Лак задатак: Величина \( y \) директно је пропорционална величини \( x \) и важи \( y = 3x \). Одреди тачку графика која одговара вредности \( x = 4 \) и реци кроз које квадранте пролази права.
За \( x = 4 \) рачунамо \( y \): \[ y = 3 \cdot 4 = 12 \] Дакле, график садржи тачку \( (4, 12) \).
Пошто је \( k = 3 > 0 \), права пролази кроз први и трећи квадрант.
Одговор: Тачка је \( (4, 12) \); права пролази кроз први и трећи квадрант.
Средњи задатак: Нацртај (одреди тачке) график зависности величине \( y \) од величине \( x \) ако је \( y = -4x \). Наведи још једну тачку осим координатног почетка и одреди кроз које квадранте пролази права.
График сваке зависности облика \( y = kx \) садржи координатни почетак \( (0,0) \).
Да бисмо добили другу тачку, узмимо \( x = 1 \): \[ y = -4 \cdot 1 = -4 \] Дакле, график садржи и тачку \( (1, -4) \). Права кроз тачке \( (0,0) \) и \( (1, -4) \) је тражени график.
Пошто је \( k = -4 < 0 \), права пролази кроз други и четврти квадрант.
Одговор: Тачке \( (0,0) \) и \( (1,-4) \); права пролази кроз други и четврти квадрант.
Тежак задатак: Дате су вредности две величине у табели. Испитај да ли су величине \( x \) и \( y \) директно пропорционалне и, ако јесу, напиши правило облика \( y = kx \).
\( x \)123
\( y \)369
Проверавамо количник \( y : x \) за сваки пар: \[ 3 : 1 = 3, \quad 6 : 2 = 3, \quad 9 : 3 = 3 \] Количник је увек исти (\( 3 \)), па су величине директно пропорционалне са коефицијентом \( k = 3 \).
Тачке \( (1,3),\ (2,6),\ (3,9) \) леже на једној правој која пролази кроз координатни почетак и није оса, што потврђује директну пропорционалност.
Одговор: Величине су директно пропорционалне и важи \( y = 3x \).

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

20670 решења

888 лекција и тестова

Иконка Математика

Физика

4729 решења

1046 лекција и тестова

Иконка Физика

Хемија

4553 решења

644 лекција и тестова

Иконка Химия

Историја

1925 одговора на питања

299 резимеа и тестова

Иконка История

Биологија

1332 одговора | 176 лекција

Иконка Биология
5. разред
6. разред
8. разред

PhotoSolveAI

Решавање задатака са слике

Иконка Литература

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста
Сазнај више