Корице уџбеника

V.5. Графички Приказ Директно Пропорционалних Величина

Решења + Понављање

Изабери решење задатка:

Задатак 3

Кратко решење

а) \( y = \frac{1}{2}x \)

\( x = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 \Rightarrow O(0,0) \) \( x = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{\cancel{2}_1} \cdot \cancel{2}^1 = 1 \Rightarrow A(2, 1) \) \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \] Нацртајте правоугли координатни систем. Означите координатни почетак О(0,0). Уцртајте тачку А(2, 1) тако што ћете одмерити 2 јединице десно на x-оси и 1 јединицу горе на y-оси. Нацртајте праву линију која пролази кроз тачке О и А. Ова права пролази кроз први и трећи квадрант јер је k > 0.

б) \( y = -4x \)

\( x = 0 \Rightarrow y = -4 \cdot 0 = 0 \Rightarrow O(0,0) \) \( x = 1 \Rightarrow y = -4 \cdot 1 = -4 \Rightarrow B(1, -4) \) \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & -4 \\ \hline \end{array} \] Нацртајте правоугли координатни систем. Означите тачку О(0,0). Уцртајте тачку B(1, -4) (једна јединица десно, четири доле). Нацртајте праву линију кроз О и B. Приметите да права пролази кроз други и четврти квадрант јер је k < 0.

Детаљно решење

Разумевање графика директне пропорционалности

Зависност облика \( y = kx \) представља директну пропорционалност. График ове функције је права линија која обавезно пролази кроз координатни почетак, односно тачку \( O(0,0) \). Да бисмо нацртали ову праву, потребно је да одредимо још једну тачку тако што ћемо изабрати произвољну вредност за \( x \) и израчунати одговарајуће \( y \).

а) Функција \( y = \frac{1}{2}x \)

Корак 1: Одређивање тачака за табелу

За \( x = 0 \), вредност је увек \( y = 0 \), па имамо тачку \( O(0,0) \). Како је коефицијент \( k = \frac{1}{2} \), изабраћемо \( x = 2 \) (број дељив са имениоцем) да бисмо добили цео број за \( y \): \[ y = \frac{1}{\cancel{2}_1} \cdot \cancel{2}^1 = 1 \] Дакле, друга тачка је \( A(2, 1) \).

Корак 2: Цртање графика


Нацртајте правоугли координатни систем. Означите координатни почетак О(0,0). Уцртајте тачку А(2, 1) тако што ћете одмерити 2 јединице десно на x-оси и 1 јединицу горе на y-оси. Нацртајте праву линију која пролази кроз тачке О и А. Ова права пролази кроз први и трећи квадрант јер је k > 0.

б) Функција \( y = -4x \)

Корак 1: Одређивање тачака за табелу

Поред тачке \( O(0,0) \), изабраћемо \( x = 1 \): \[ y = -4 \cdot 1 = -4 \] Добили смо тачку \( B(1, -4) \). Алтернативно, можемо узети \( x = -1 \): \[ y = -4 \cdot (-1) = 4 \] Добијамо тачку \( C(-1, 4) \).

Корак 2: Цртање графика


Нацртајте правоугли координатни систем. Означите тачку О(0,0). Уцртајте тачку B(1, -4) (једна јединица десно, четири доле). Нацртајте праву линију кроз О и B. Приметите да права пролази кроз други и четврти квадрант јер је k < 0.

Кратак запис решења:

а) \( y = \frac{1}{2}x \)

\( (x,y) \in \{ (0,0), (2,1) \} \)

б) \( y = -4x \)

\( (x,y) \in \{ (0,0), (1,-4) \} \)

Најважније из лекције

  • Зависност две директно пропорционалне величине приказујемо графиком у координатној равни — свакој вредности \( x \) одговара тачка \( (x, y) \).
  • Све тачке таквог графика леже на једној правој која пролази кроз координатни почетак и није координатна оса. Важи и обрнуто.
  • Ако је \( y = kx\ (k \neq 0) \), график је права кроз координатни почетак: за \( k > 0 \) пролази кроз први и трећи квадрант, а за \( k < 0 \) кроз други и четврти квадрант.
  • Две тачке одређују праву, па је за цртање графика довољно наћи још једну тачку осим координатног почетка (нпр. за \( x = 1 \) добијамо \( y = k \)).
Ако су две величине директно пропорционалне, њихову зависност можемо приказати графиком у координатној равни. Свакој вредности величине \( x \) одговара тачка са координатама \( (x, y) \).
Количина брашна (\( y \), у грамима) директно је пропорционална броју кифли (\( x \)). За сваку кифлу треба \( 50 \) грама брашна.
\( x \) (кифле)12345
\( y \) (грами)50100150200250
Ако тачке \( (1,50),\ (2,100),\ (3,150),\ (4,200),\ (5,250) \) представимо у координатној равни, све оне припадају једној правој која садржи координатни почетак.
Графички приказ табеле за кифле у координатној равни. На хоризонталној оси је број кифли x, а на вертикалној количина брашна y. Тачке (1,50), (2,100), (3,150), (4,200) и (5,250) леже на једној правој која полази из координатног почетка и расте удесно навише.
Све тачке графика зависности две директно пропорционалне величине припадају правој која садржи координатни почетак и није координатна оса.
И обрнуто: ако све тачке графика зависности две величине припадају правој која садржи координатни почетак и не поклапа се са \( x \)-осом или \( y \)-осом, онда су те две величине директно пропорционалне.
Дакле, по графику препознајемо директну пропорционалност овако: тачке морају лежати на једној правој, та права мора пролазити кроз координатни почетак, а притом не сме бити ни једна ни друга оса.
Ако је величина \( y \) директно пропорционална величини \( x \), онда постоји константа \( k\ (k \neq 0) \) таква да је \( y = kx \). Број \( k \) је коефицијент директне пропорционалности.
Ако је \( y = kx,\ k \neq 0 \), онда график зависности величине \( y \) од величине \( x \) припада правој која садржи координатни почетак и притом важи:
  • ако је \( k > 0 \), та права пролази кроз први и трећи квадрант;
  • ако је \( k < 0 \), та права пролази кроз други и четврти квадрант.
Кроз координатни почетак пролази бесконачно много правих, али две различите тачке одређују тачно једну праву. Зато је за цртање графика довољно наћи још једну тачку различиту од координатног почетка.
Пример: \( y = 2x \). Овде је \( k = 2 > 0 \). Једна тачка је координатни почетак \( (0,0) \). За \( x = 1 \) добијамо \( y = 2 \cdot 1 = 2 \), па график садржи и тачку \( (1, 2) \). Права кроз \( (0,0) \) и \( (1,2) \) пролази кроз први и трећи квадрант.
Координатна раван са графиком праве y = 2x. Права пролази кроз координатни почетак (0,0) и кроз тачку (1,2), расте удесно навише и налази се у првом и трећем квадранту. Тачка (1,2) је истакнута, а испрекиданим линијама повезана са бројем 1 на x-оси и бројем 2 на y-оси.
Пример: \( y = -2x \). Овде је \( k = -2 < 0 \). Једна тачка је \( (0,0) \). За \( x = 1 \) добијамо \( y = -2 \cdot 1 = -2 \), па график садржи и тачку \( (1, -2) \). Права кроз \( (0,0) \) и \( (1,-2) \) пролази кроз други и четврти квадрант.
Координатна раван са графиком праве y = -2x. Права пролази кроз координатни почетак (0,0) и кроз тачку (1,-2), опада удесно наниже и налази се у другом и четвртом квадранту. Тачка (1,-2) је истакнута, а испрекиданим линијама повезана са бројем 1 на x-оси и бројем -2 на y-оси.

Задаци за вежбање

Лак задатак: Величина \( y \) директно је пропорционална величини \( x \) и важи \( y = 3x \). Одреди тачку графика која одговара вредности \( x = 4 \) и реци кроз које квадранте пролази права.
За \( x = 4 \) рачунамо \( y \): \[ y = 3 \cdot 4 = 12 \] Дакле, график садржи тачку \( (4, 12) \).
Пошто је \( k = 3 > 0 \), права пролази кроз први и трећи квадрант.
Одговор: Тачка је \( (4, 12) \); права пролази кроз први и трећи квадрант.
Средњи задатак: Нацртај (одреди тачке) график зависности величине \( y \) од величине \( x \) ако је \( y = -4x \). Наведи још једну тачку осим координатног почетка и одреди кроз које квадранте пролази права.
График сваке зависности облика \( y = kx \) садржи координатни почетак \( (0,0) \).
Да бисмо добили другу тачку, узмимо \( x = 1 \): \[ y = -4 \cdot 1 = -4 \] Дакле, график садржи и тачку \( (1, -4) \). Права кроз тачке \( (0,0) \) и \( (1, -4) \) је тражени график.
Пошто је \( k = -4 < 0 \), права пролази кроз други и четврти квадрант.
Одговор: Тачке \( (0,0) \) и \( (1,-4) \); права пролази кроз други и четврти квадрант.
Тежак задатак: Дате су вредности две величине у табели. Испитај да ли су величине \( x \) и \( y \) директно пропорционалне и, ако јесу, напиши правило облика \( y = kx \).
\( x \)123
\( y \)369
Проверавамо количник \( y : x \) за сваки пар: \[ 3 : 1 = 3, \quad 6 : 2 = 3, \quad 9 : 3 = 3 \] Количник је увек исти (\( 3 \)), па су величине директно пропорционалне са коефицијентом \( k = 3 \).
Тачке \( (1,3),\ (2,6),\ (3,9) \) леже на једној правој која пролази кроз координатни почетак и није оса, што потврђује директну пропорционалност.
Одговор: Величине су директно пропорционалне и важи \( y = 3x \).

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

20670 решења

888 лекција и тестова

Иконка Математика

Физика

4729 решења

1046 лекција и тестова

Иконка Физика

Хемија

4553 решења

644 лекција и тестова

Иконка Химия

Историја

1925 одговора на питања

299 резимеа и тестова

Иконка История

Биологија

1332 одговора | 176 лекција

Иконка Биология
5. разред
6. разред
8. разред

PhotoSolveAI

Решавање задатака са слике

Иконка Литература

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста
Сазнај више