Најважније из лекције
- Произвољан троугао: Површина се рачуна као \( P = \frac{a \cdot h_a}{2} \) (половина производа странице и њој одговарајуће висине).
- Правоугли троугао: Катете су истовремено и висине једна другој, па важи \( P = \frac{a \cdot b}{2} \).
- Координатни систем: Троугао се уоквири правоугаоником, а површина се добија одузимањем површина "спољашњих" правоуглих троуглова од укупне површине правоугаоника.
- Сложеније фигуре: Површина многоугла (нпр. четвороугла) рачуна се дељењем фигуре на мање троуглове и сабирањем њихових површина.
Површина троугла једнака је половини производа једне његове странице и висине која јој одговара. Ово произилази из чињенице да сваки троугао представља половину паралелограма са истом страницом и висином.
\[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \]
где су \(a, b, c\) странице троугла, а \(h_a, h_b, h_c\) одговарајуће висине.
Ако су измерене дужине странице троугла \( a = 3,3 \text{ cm} \) и одговарајуће висине \( h_a = 2,6 \text{ cm} \), површина се рачуна:
\[ P = \frac{3,3 \text{ cm} \cdot 2,6 \text{ cm}}{2} = 4,29 \text{ cm}^2 \]
Израчунај површину троугла чија је страница \( b = 8 \text{ cm} \), а одговарајућа висина \( h_b = 5 \text{ cm} \).
Користимо формулу за површину:
\[ P = \frac{b \cdot h_b}{2} \]
\[ P = \frac{8 \cdot 5}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ cm}^2 \]
Код правоуглог троугла, свака катета је уједно и висина која одговара оној другој катети. Зато се површина може рачунати преко катета, без познавања хипотенузе.
\[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \]
где су \(a\) и \(b\) катете, \(c\) хипотенуза, а \(h_c\) висина на хипотенузу.
Израчунај површину правоуглог троугла чије су катете дужине \( 6 \text{ cm} \) и \( 10 \text{ cm} \).
Како су дате катете, користимо формулу \( P = \frac{a \cdot b}{2} \):
\[ P = \frac{6 \cdot 10}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ cm}^2 \]
Да би се израчунала површина троугла задатог координатама темена, најлакше је троугао "описати" правоугаоником чије су странице паралелне координатним осама.
Опиши правоугаоник око датог троугла тако да му странице пролазе кроз темена троугла.
Израчунај површину целог правоугаоника.
Израчунај површине три правоугла троугла која се налазе унутар правоугаоника, а изван посматраног троугла (користећи дужине њихових катета са мреже).
Од површине правоугаоника одузми збир површина та три правоугла троугла.
Ако је површина описаног правоугаоника око троугла 20 квадратних јединица, а површине три околна правоугла троугла су 4, 3 и 5 квадратних јединица, колика је површина централног троугла?
Површина централног троугла добија се одузимањем:
\[ P = P_{\text{правоугаоника}} - (P_1 + P_2 + P_3) \]
\[ P = 20 - (4 + 3 + 5) = 20 - 12 = 8 \text{ јединичних квадрата} \]
Површина било ког многоугла (па и четвороугла) може се израчунати тако што се он разложи на мање фигуре чије површине умемо да израчунамо – најчешће на троуглове.
Укупна површина многоугла једнака је збиру површина свих троуглова на које је тај многоугао издељен.
Да бисмо израчунали површину четвороугла \( ABCD \), повлачимо дијагоналу \( BD \). Тиме добијамо два троугла: \( \triangle ABD \) и \( \triangle BCD \).
\[ P_{ABCD} = P_{ABD} + P_{BCD} \]
Четвороугао је једном дијагоналом подељен на два троугла. Површина првог троугла је \( 12,5 \text{ cm}^2 \), а другог \( 15,3 \text{ cm}^2 \). Колика је површина целог четвороугла?
\[ P = P_1 + P_2 = 12,5 \text{ cm}^2 + 15,3 \text{ cm}^2 = 27,8 \text{ cm}^2 \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај површину троугла ако је његова страница \( a = 14 \text{ cm} \), а висина која јој одговара \( h_a = 5 \text{ cm} \).
\[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} \]
\[ P = \frac{14 \cdot 5}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ cm}^2 \]
Средњи: Површина правоуглог троугла је \( 24 \text{ cm}^2 \). Ако је дужина једне катете \( 8 \text{ cm} \), израчунај дужину друге катете.
Површина правоуглог троугла се рачуна по формули \( P = \frac{a \cdot b}{2} \).
\[ 24 = \frac{8 \cdot b}{2} \]
\[ 24 = 4 \cdot b \]
\[ b = 24 : 4 = 6 \text{ cm} \]
Тежак: У троуглу је позната страница \( a = 12 \text{ cm} \) и одговарајућа висина \( h_a = 6 \text{ cm} \). Ако је дужина странице \( b = 9 \text{ cm} \), одреди дужину висине \( h_b \) која одговара тој страници.
Прво рачунамо површину троугла преко странице \( a \) и висине \( h_a \):
\[ P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{12 \cdot 6}{2} = 36 \text{ cm}^2 \]
Површина тог истог троугла може да се израчуна и преко странице \( b \) и висине \( h_b \):
\[ P = \frac{b \cdot h_b}{2} \]
\[ 36 = \frac{9 \cdot h_b}{2} \]
\[ 72 = 9 \cdot h_b \]
\[ h_b = 72 : 9 = 8 \text{ cm} \]
