VII.4. Површина Троугла

Корак 1: Претварање мерних јединица за површину

Површина винограда дата је у арима, а дужине страница су у метрима. Претворићемо површину у квадратне метре: \[ 1\text{ a} = 100\text{ m}^2 \] \[ P = 230\text{ a} = 230 \cdot 100\text{ m}^2 = 23\,000\text{ m}^2 \]

Корак 2: Разлагање фигуре

Нацртај петугао са слике 4.11 са хоризонталном доњом страницом дужине 170 m и две вертикалне странице које полазе из њених крајева под правим углом. Десна вертикална страница има дужину 100 m. На њу се под правим углом надовезује дуж x, а затим коса страница дужине 150 m која се под правим углом спаја са левом косом страницом до левог темена. Повуци продужетак десне вертикалне странице нагоре и продужи горње странице да се уочи правоугаоник или подели фигуру вертикалном дужи од унутрашњег темена до основе. Посматрајмо слику 4.11 из уџбеника: Виноград је петоугао са теменима на којима су означени прави углови. Доња хоризонтална страница има дужину \( 170\text{ m} \). Два доња угла су прави. Десна вертикална страница има дужину \( 100\text{ m} \). Из њеног горњег краја под правим углом полази страница дужине \( x \). Страница дужине \( 150\text{ m} \) је нормална на страницу \( x \), што значи да је паралелна са страницом од \( 100\text{ m} \). Угао између странице од \( 150\text{ m} \) и суседне странице је такође прав. Ако фигуру поделимо хоризонталном или вертикалном линијом, или је посматрамо као састављену од правоугаоника и трапеза/троугла: Десна страна фигуре формира правоугли део где је страница \( x \) нормална на десну ивицу. Заправо, продужимо горњу страницу дужине \( 150\text{ m} \): цела фигура се састоји од: - правоугаоника ширине \( x \) и висине једнаке десној страни од \( 100\text{ m} \), односно правоугаоних и троуглих делова. Погледајмо боље слику 4.11: Основа је \( 170\text{ m} \). Доњи углови су прави. Десна ивица је вертикална и дужине \( 100\text{ m} \). Из њеног врха иде дуж \( x \) улево/нагоре под правим углом, а на њу је нормална страница дужине \( 150\text{ m} \). Угао између странице \( x \) и странице \( 150\text{ m} \) је прав (\( 90^\circ \)). Угао између десне странице (\( 100\text{ m} \)) и странице \( x \) је туп, односно на слици је означен прав угао између странице дужине \( 150\text{ m} \) и странице \( x \). Погледајмо ознаке правих углова на слици 4.11: - доњи леви угао: прав (\( 90^\circ \)) - доњи десни угао: прав (\( 90^\circ \)) - угао између странице \( 150\text{ m} \) и странице \( x \): прав (\( 90^\circ \)) То значи да је цела фигура правоугли трапез или се састоји од правоугаоника и правоуглог троугла! Ако је угао између странице \( 150\text{ m} \) и странице \( x \) прав, а доња страница је \( 170\text{ m} \), онда су странице од \( 150\text{ m} \) и \( 170\text{ m} \) паралелне! Тада је висина тог трапеза страница дужине \( 100\text{ m} \), али десна страна има прелом код дужи \( x \). Погледајмо слику: лева страница је вертикална, доња је хоризонтална дужине \( 170\text{ m} \), десна је делимично вертикална дужине \( 100\text{ m} \), затим иде страница \( x \), па страница дужине \( 150\text{ m} \). Странице од \( 150\text{ m} \) и \( 170\text{ m} \) су паралелне. Нормално растојање између паралелних страница једнако је висини. Поделимо фигуру на правоугаоник и правоугли троугао: Ако су основице трапеза \( a = 170\text{ m} \) и \( b = 150\text{ m} \), његова површина је: \[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h \] Укупна површина винограда је \( P = 23\,000\text{ m}^2 \). Убацимо познате вредности: \[ 23\,000 = \frac{170 + 150}{2} \cdot h \] \[ 23\,000 = \frac{320}{2} \cdot h \] \[ 23\,000 = 160 \cdot h \] \[ h = \frac{23\,000}{160} = \frac{2\,300}{16} = 143,75\text{ m} \] Међутим, фигура је петоугао: десна страна се састоји од вертикалног дела од \( 100\text{ m} \) и дела \( x \). Како је страница дужине \( 150\text{ m} \) паралелна основици од \( 170\text{ m} \), а растојање између њих је висина \( h \), дуж \( x \) заправо спаја горњу основу и доњи део, па је укупна висина \( h = 100\text{ m} + x \), односно: Ако је страница \( x \) нормална на основу и на страницу од \( 150\text{ m} \): Угао између \( x \) и \( 150\text{ m} \) је означен луком са тачком (прав угао). Угао између десне странице (\( 100\text{ m} \)) и основе (\( 170\text{ m} \)) је прав угао. Угао између леве странице и основе (\( 170\text{ m} \)) је прав угао. Дакле, лева страница, десна страница (\( 100\text{ m} \)) и дуж \( x \) су паралелне (све су нормалне на хоризонталне линије)! Отуда је фигура прави трапез са паралелним страницама од \( 100\text{ m} + \dots \) или са хоризонталним основицама? Погледајмо оријентацију на слици 4.11: Основица је доле, дужине \( 170\text{ m} \). Десна ивица иде нагоре под правим углом и има дужину \( 100\text{ m} \). Затим ивица скреће улево под углом, а дуж \( x \) се спаја са горњом страницом дужине \( 150\text{ m} \). Угао између странице дужине \( 150\text{ m} \) и странице \( x \) је прав (\( 90^\circ \)). Страница дужине \( 150\text{ m} \) је паралелна са десном страницом од \( 100\text{ m} \), што значи да је страница \( x \) хоризонтална, или је страница од \( 150\text{ m} \) паралелна основици од \( 170\text{ m} \)? На цртежу: страница од \( 150\text{ m} \) је нагнута. Ознака за прав угао је између странице од \( 150\text{ m} \) и дужи \( x \). Такође, према постојећем цртежу : "Нацртај трапез са слике 4.11. Из темена где се спајају странице дужина x и 150 m, спусти нормалу на наспрамну страницу дужине 170 m. Ова нормала дели фигуру на правоугаоник десно и правоугли троугао лево." На слици 4.11 страница дужине \( 150\text{ m} \) је хоризонтална, а десна страница дужине \( 100\text{ m} \) је вертикална! Страница \( x \) спаја десну вертикалну страницу са горњом! Погледајмо ознаку \( x \): она је црвене боје на слици 4.11, на косој ивици или вертикалној? У формули трапеза: Ако поделимо фигуру вертикалном линијом од темена где се спајају \( 150\text{ m} \) и коса страница: Правоугаоник има странице \( 150\text{ m} \) и висину, а лево је правоугли троугао са базом \( 170 - 150 = 20\text{ m} \). Површина таквог трапеза са основицама \( 170\text{ m} \) и \( 150\text{ m} \) и висином \( h \) је: \[ P = \frac{170 + 150}{2} \cdot h = 160 \cdot h \] Али са десне стране имамо урезани или одсечени део, или је фигура трапез чија је једна коса страница \( x \)? Погледајмо слику 4.11 у књизи врло пажљиво: - Доња страница: \( 170\text{ m} \), оба угла на њој имају тачку (прави углови). Чекај, леви угао има тачку, десни угао има тачку! - Горња страница: има дужину \( 150\text{ m} \). - Угао између странице од \( 150\text{ m} \) и странице \( x \) има тачку (прав угао). - Постоји пето теме између странице \( x \) и странице од \( 100\text{ m} \). Не, пребројмо темена: 1. Доле лево (прав угао) 2. Доле десно (прав угао) 3. Десно горе, крај дужи од \( 100\text{ m} \) 4. Теме између дужи \( x \) и странице \( 150\text{ m} \) (прав угао) 5. Лево теме између странице \( 150\text{ m} \) и леве странице. Ово је петоугао! Али чекај, страница од \( 150\text{ m} \) иде косо, а дуж \( x \) је нормална на њу. Погледајмо натпис: кота \( 150\text{ m} \) је изнад косе линије. Кота \( x \) је поред дужи која спаја врх дужи од \( 100\text{ m} \) и страницу од \( 150\text{ m} \). Ако продужимо страницу од \( 150\text{ m} \) и вертикалне странице, или ако разложимо петоугао на правоугаоник и трапез: Повуцимо хоризонталну дуж на висини \( 100\text{ m} \). Тада доле имамо правоугаоник димензија \( 170\text{ m} \times 100\text{ m} \). Његова површина је: \[ P_1 = 170\text{ m} \cdot 100\text{ m} = 17\,000\text{ m}^2 \] Како је укупна површина винограда \( P = 23\,000\text{ m}^2 \), површина горњег дела је: \[ P_2 = P - P_1 = 23\,000\text{ m}^2 - 17\,000\text{ m}^2 = 6\,000\text{ m}^2 \] Горњи део је правоугли троугао! Зашто? Јер изнад висине од \( 100\text{ m} \), са десне стране дуж \( x \) почиње на висини од \( 100\text{ m} \) и завршава се код странице од \( 150\text{ m} \). Погледајмо врх дужи од \( 100\text{ m} \): на тој висини, десна ивица скреће. Угао између хипотенузе и катете: Код правоуглог троугла, једна катета је \( 150\text{ m} \), а друга катета је \( x \)! Да, угао између странице од \( 150\text{ m} \) и странице \( x \) је прав (\( 90^\circ \))! Дакле, горњи део је управо правоугли троугао са катетама дужина \( 150\text{ m} \) и \( x \)! Проверимо: правоугаоник доле има површину \( 170 \cdot 100 = 17\,000\text{ m}^2 \). Кровни (горњи) део има површину: \[ P_{\text{троугла}} = \frac{150 \cdot x}{2} \] Збир површина је: \[ P = P_{\text{правоугаоника}} + P_{\text{троугла}} \] \[ 23\,000 = 17\,000 + \frac{150 \cdot x}{2} \] Ово се савршено уклапа у лекцију Површина троугла и примере са разлагањем многоугла на правоугаоник и троугао!

Корак 3: Израчунавање површине доњег правоугаоног дела

Виноград се састоји од доњег правоугаоника димензија \( 170\text{ m} \) и \( 100\text{ m} \) и горњег правоуглог троугла са катетама \( 150\text{ m} \) и \( x \). Површина правоугаоника је: \[ P_{\text{пр}} = 170\text{ m} \cdot 100\text{ m} = 17\,000\text{ m}^2 \]

Корак 4: Израчунавање површине правоуглог троугла

Површину правоуглог троугла добијамо када од укупне површине одузмемо површину правоугаоника: \[ P_{\text{тр}} = P - P_{\text{пр}} = 23\,000\text{ m}^2 - 17\,000\text{ m}^2 = 6\,000\text{ m}^2 \]

Корак 5: Одређивање непознате дужине \( x \)

Површина правоуглог троугла једнака је половини производа његових катета: \[ P_{\text{тр}} = \frac{150\text{ m} \cdot x}{2} \] Уврстимо израчунату површину троугла: \[ 6\,000 = \frac{150 \cdot x}{2} \] \[ 6\,000 = 75 \cdot x \] \[ x = \frac{6\,000}{75} \] \[ x = 80\text{ m} \]

\( P = 230\text{ a} = 23\,000\text{ m}^2 \) \( P_{\text{пр}} = 170 \cdot 100 = 17\,000\text{ m}^2 \) \( P_{\text{тр}} = 23\,000 - 17\,000 = 6\,000\text{ m}^2 \) \( \frac{150 \cdot x}{2} = 6\,000 \implies 75x = 6\,000 \implies x = 80\text{ m} \)