Најважније из лекције
Кључни концепти простора: Раван је јединствено одређена помоћу три неколинеарне тачке, праве и тачке ван ње, или две праве које се секу/су паралелне.
Односи правих: Праве могу да се секу (једна заједничка тачка), буду паралелне (немају пресек, иста раван) или мимоилазне (немају пресек, различите равни).
Фигуре: Конвексна фигура увек у себи садржи дуж која спаја било које њене две тачке. Број дијагонала \( n \)-тоугла је \( \frac{n(n-3)}{2} \), а збир унутрашњих углова \( (n-2) \cdot 180^\circ \).
Односи правих: Праве могу да се секу (једна заједничка тачка), буду паралелне (немају пресек, иста раван) или мимоилазне (немају пресек, различите равни).
Фигуре: Конвексна фигура увек у себи садржи дуж која спаја било које њене две тачке. Број дијагонала \( n \)-тоугла је \( \frac{n(n-3)}{2} \), а збир унутрашњих углова \( (n-2) \cdot 180^\circ \).
Основни геометријски објекти су тачке (\( A, B, C \dots \)), праве (\( a, b, c \dots \)) и равни (\( \alpha, \beta, \gamma \dots \)).
Тачке су колинеарне ако припадају истој правој, а компланарне ако припадају истој равни.
Одређеност равни: Раван је јединствено одређена ако је задато једно од следећег:
- Три неколинеарне тачке.
- Права и једна тачка која јој не припада.
- Две праве које се секу.
- Две паралелне праве.
Број правих одређених скупом од \( n \) тачака (\( n \ge 2 \)), где не постоје три колинеарне:
\[ \frac{n(n-1)}{2} \]
Број равни одређених скупом од \( n \) тачака (\( n \ge 3 \)), где не постоје четири компланарне:
\[ \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \]
Равни могу бити паралелне (немају заједничких тачака) или се сећи (пресек је једна права). Права и раван могу бити паралелне или се сећи у једној тачки (тачка продора).
| Међусобни положај две праве | Број заједничких тачака | Припадају истој равни? |
|---|---|---|
| Праве се секу | Тачно 1 (\( a \cap b = \{P\} \)) | Да |
| Паралелне праве | 0 (\( a \parallel b \)) | Да |
| Мимоилазне праве | 0 (\( a \nparallel b \)) | Не |
Аксиома паралелности: За сваку праву \( p \) и тачку \( A \) која јој не припада постоји јединствена права \( q \) која садржи тачку \( A \) и паралелна је са правом \( p \).
Паралелност је симетрична (\( a \parallel b \Rightarrow b \parallel a \)) и транзитивна (\( a \parallel b \) и \( b \parallel c \Rightarrow a \parallel c \)). Свака права и раван је паралелна сама са собом.
Однос "између" описује распоред тачака на правој. Ако је тачка \( B \) између тачака \( A \) и \( C \), то записујемо као \( A-B-C \).
Дуж \( AB \) чине тачке \( A \) и \( B \) (крајеви) заједно са свим тачкама које се налазе између њих.
Полуправа је део праве који чине једна њена тачка (почетак) и све тачке праве са исте стране те тачке.
Полураван је део равни који чине једна права (гранична права) и све тачке равни са исте стране те праве.
Пашова теорема: Ако у равни имамо троугао \( ABC \) и праву \( p \) која не садржи ниједно његово теме, а сече једну страницу (нпр. \( BC \)), онда она мора сећи тачно још једну од преостале две странице (или \( AB \) или \( AC \)), и не може сећи обе.
Геометријска фигура је конвексна ако свака дуж чији крајеви припадају фигури у потпуности лежи унутар те фигуре. У супротном је неконвексна.
Пресек било које две конвексне фигуре је увек конвексна фигура.
Угао је фигура коју чини угаона линија (две полуправе са заједничким почетком) и један од делова равни на које та линија дели раван.
Многоугао (полигон) је унија затворене изломљене многоугаоне линије и њене унутрашњости. Дуж која спаја несуседна темена многоугла зове се дијагонала.
За сваки конвексни \( n \)-тоугао важи:
Укупан број дијагонала: \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Збир унутрашњих углова: \( S_n = (n-2) \cdot 180^\circ \)
Укупан број дијагонала: \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \)
Збир унутрашњих углова: \( S_n = (n-2) \cdot 180^\circ \)
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Израчунајте број дијагонала конвексног десетоугла (\( n = 10 \)).
Примењујемо формулу за број дијагонала: \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \).
\( D_{10} = \frac{10(10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35 \)
Одговор: Десетоугао има 35 дијагонала.
\( D_{10} = \frac{10(10 - 3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35 \)
Одговор: Десетоугао има 35 дијагонала.
Средњи задатак: Колико правих је одређено са 6 тачака у равни, ако међу њима не постоје три колинеарне тачке?
Сваке две тачке одређују по једну праву. Користимо формулу за број правих одређених са \( n \) тачака (без колинеарних тројки):
Број правих \( = \frac{n(n-1)}{2} \)
За \( n = 6 \): Број правих \( = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
Одговор: Ове тачке одређују 15 правих.
Број правих \( = \frac{n(n-1)}{2} \)
За \( n = 6 \): Број правих \( = \frac{6 \cdot 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
Одговор: Ове тачке одређују 15 правих.
Тежи задатак: Да ли две праве у простору могу да немају ниједну заједничку тачку, а да ипак нису паралелне? Ако могу, како се оне називају и који је услов за њихово постојање?
Одговор: Да, могу. Такве праве се називају мимоилазне праве.
Основни услов да две праве које се не секу не буду паралелне је да не припадају истој равни (односно, не постоји раван која их обе садржи).
Основни услов да две праве које се не секу не буду паралелне је да не припадају истој равни (односно, не постоји раван која их обе садржи).
Тежи задатак: Конвексни многоугао има укупно 20 дијагонала. Колики је збир његових унутрашњих углова?
Прво одређујемо број темена \( n \) преко броја дијагонала:
\( \frac{n(n-3)}{2} = 20 \Rightarrow n(n-3) = 40 \)
Решавањем ове једначине налазимо да је \( n = 8 \) (јер је \( 8 \cdot 5 = 40 \)). Ради се о осмоуглу.
Сада рачунамо збир углова по формули \( S_n = (n-2) \cdot 180^\circ \):
\( S_8 = (8-2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ \)
Одговор: Збир унутрашњих углова тог многоугла је \( 1080^\circ \).
\( \frac{n(n-3)}{2} = 20 \Rightarrow n(n-3) = 40 \)
Решавањем ове једначине налазимо да је \( n = 8 \) (јер је \( 8 \cdot 5 = 40 \)). Ради се о осмоуглу.
Сада рачунамо збир углова по формули \( S_n = (n-2) \cdot 180^\circ \):
\( S_8 = (8-2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ \)
Одговор: Збир унутрашњих углова тог многоугла је \( 1080^\circ \).
