Најважније из лекције
- Теорема о преуређивању: Збир производа елемената два низа је највећи када се множе чланови истих позиција по величини, а најмањи када се множе највећи са најмањим.
- Неједнакост квадрата: \( a^2 + b^2 \ge 2ab \) (за сваке реалне бројеве \( a \) и \( b \)).
- АГ неједнакост: Аритметичка средина је већа или једнака геометријској: \( \frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy} \) (за \( x,y \ge 0 \)). Једнакост важи само када је \( x = y \).
- Корисна последица: Збир позитивног броја и његове реципрочне вредности је увек већи или једнак 2: \( x + \frac{1}{x} \ge 2 \).
Ова теорема упоређује збирове производа чланова два низа у зависности од тога како су чланови упарени.
За два члана:
Ако је \( a \le b \) и \( c \le d \), онда важи: \[ ac + bd \ge ad + bc \]
Ако је \( a \le b \) и \( c \le d \), онда важи: \[ ac + bd \ge ad + bc \]
За три члана:
Нека је \( a_1 \le a_2 \le a_3 \) и \( b_1 \le b_2 \le b_3 \). За било коју пермутацију \( \{b_1', b_2', b_3'\} \) скупа \( \{b_1, b_2, b_3\} \) важи: \[ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \ge a_1b_1' + a_2b_2' + a_3b_3' \ge a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1 \]
Нека је \( a_1 \le a_2 \le a_3 \) и \( b_1 \le b_2 \le b_3 \). За било коју пермутацију \( \{b_1', b_2', b_3'\} \) скупа \( \{b_1, b_2, b_3\} \) важи: \[ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \ge a_1b_1' + a_2b_2' + a_3b_3' \ge a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1 \]
- Највећи збир се добија када се множе чланови истог редоследа (најмањи са најмањим, средњи са средњим, највећи са највећим).
- Најмањи збир се добија када се множе чланови обрнутог редоследа (најмањи са највећим, средњи са средњим, највећи са најмањим).
Геометријска слика: када су елементи оба низа поређани у истом смеру (оба растућа или оба опадајућа), збир производа одговарајућих елемената је највећи; када су у супротним смеровима (укрштено упарени), збир је најмањи.
Једна од најважнијих основних неједнакости произилази из чињенице да је квадрат сваког реалног броја увек већи или једнак нули.
За свака два реална броја \( a \) и \( b \) тачна је неједнакост:
\[ a^2 + b^2 \ge 2ab \]
Ова неједнакост се директно изводи из:
\[ (a - b)^2 \ge 0 \Leftrightarrow a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 \Leftrightarrow a^2 + b^2 \ge 2ab \]
Ако применимо неједнакост квадрата на три позитивна броја \( a, b, c \), можемо доказати да важи:
\[ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca \]
Ово се доказује и применом теореме о преуређивању узимајући да је \( a \le b \le c \), из чега следи \( a^2 \le b^2 \le c^2 \).
Аритметичка средина ненегативних бројева \( x \) и \( y \) је број \( \frac{x+y}{2} \).
Геометријска средина истих бројева је број \( \sqrt{xy} \).
Геометријска средина истих бројева је број \( \sqrt{xy} \).
За произвољне ненегативне бројеве \( x \) и \( y \) тачна је АГ неједнакост:
\[ \frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy} \]
Једнакост у АГ неједнакости важи ако и само ако је \( x = y \).
Из основних неједнакости изводе се корисне релације које се често користе у задацима.
За све позитивне реалне бројеве \( a \) и \( b \) важи:
\[ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \]
За сваки позитиван реалан број \( x \) важи (специјалан случај претходне неједнакости када је \( b = 1 \)):
\[ x + \frac{1}{x} \ge 2 \]
Задаци за вежбање
Лак: Када се у неједнакости \( \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} \) достиже знак једнакости за бројеве \( x = 5 \) и \( y = 5 \)?
Знак једнакости у АГ неједнакости важи ако и само ако су бројеви једнаки (\( x = y \)).
Провера:
Аритметичка средина: \( \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
Геометријска средина: \( \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{25} = 5 \)
Пошто је \( 5 = 5 \), једнакост је тачна.
Провера:
Аритметичка средина: \( \frac{5 + 5}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
Геометријска средина: \( \sqrt{5 \cdot 5} = \sqrt{25} = 5 \)
Пошто је \( 5 = 5 \), једнакост је тачна.
Средњи: Докажите да за свака два реална броја \( x \) и \( y \) важи неједнакост: \( x^2 + y^2 + 2 \ge 2x + 2y \).
Користићемо особину да је квадрат сваког реалног броја већи или једнак нули.
Групишимо чланове са исте стране неједнакости: \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 \ge 0 \] Приметимо да су ово квадрати бинома: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \ge 0 \] Пошто је збир два квадрата увек ненегативан, полазна неједнакост је тачна.
Групишимо чланове са исте стране неједнакости: \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 \ge 0 \] Приметимо да су ово квадрати бинома: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \ge 0 \] Пошто је збир два квадрата увек ненегативан, полазна неједнакост је тачна.
Тежак: Ако су \( a, b \) и \( c \) позитивни реални бројеви, докажите неједнакост: \( (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc \).
Применићемо АГ неједнакост на сваку заграду појединачно.
За бројеве \( a \) и \( b \) важи: \( \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \Rightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab} \)
За бројеве \( b \) и \( c \) важи: \( \frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc} \Rightarrow b+c \ge 2\sqrt{bc} \)
За бројеве \( c \) и \( a \) важи: \( \frac{c+a}{2} \ge \sqrt{ca} \Rightarrow c+a \ge 2\sqrt{ca} \)
Пошто су све стране позитивне, можемо помножити ове три неједнакости: \[ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ca} \] \[ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8\sqrt{a^2b^2c^2} \] \[ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc \] Тиме је неједнакост доказана.
За бројеве \( a \) и \( b \) важи: \( \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \Rightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab} \)
За бројеве \( b \) и \( c \) важи: \( \frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc} \Rightarrow b+c \ge 2\sqrt{bc} \)
За бројеве \( c \) и \( a \) важи: \( \frac{c+a}{2} \ge \sqrt{ca} \Rightarrow c+a \ge 2\sqrt{ca} \)
Пошто су све стране позитивне, можемо помножити ове три неједнакости: \[ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ca} \] \[ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8\sqrt{a^2b^2c^2} \] \[ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc \] Тиме је неједнакост доказана.
