Најважније из лекције
- Цео алгебарски израз садржи само сабирање, одузимање и множење.
- Слични мономи имају исти део са променљивима и једино се они могу сабирати. (нпр. \( 2x^2 \) и \( 5x^2 \)).
- Множење израза се врши тако што се сваки моном једног израза помножи са сваким мономом другог.
- Важне формуле: За брже множење и растављање на чиниоце користе се квадрат бинома \( (A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 \) и разлика квадрата \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \).
Изрази се граде од променљивих (слова) и константи (бројева) користећи математичке операције. Врсту израза одређују операције које се у њему појављују:
- Моном: израз у којем је од операција дозвољено само множење „\(\cdot\)“.
- Цео алгебарски израз: дозвољене операције су множење „\(\cdot\)“, сабирање „\(+\)“ и одузимање „\(-\)“.
- Рационалан алгебарски израз: дозвољене су све претходне операције уз додатну операцију дељења „\(:\)“.
Два израза су еквивалентна ако су њихове вредности једнаке за сваки могући избор вредности променљивих које се у њима појављују.
Моном у сређеном облику представља производ константе и степена чије су основе међусобно различите променљиве. Константа у том моному се назива коефицијент.
Два монома у сређеном облику су слична ако им се разликују само коефицијенти (имају потпуно исте променљиве са истим изложиоцима).
Степен монома је збир изложилаца свих степена променљивих који се појављују у том моному. Константе су мономи степена нула.
Мономи \( 4x^2y^3 \) и \( -7x^2y^3 \) су слични.
Њихов степен је \( 2 + 3 = 5 \). Коефицијент првог је \( 4 \), а другог \( -7 \).
Њихов степен је \( 2 + 3 = 5 \). Коефицијент првог је \( 4 \), а другог \( -7 \).
Сабирање (и одузимање) се може извршити само код сличних монома, коришћењем закона дистрибутивности.
- Збир два неслична монома назива се бином.
- Збир три међусобно неслична монома назива се трином.
Цели алгебарски изрази се множе по принципу „сваки са сваким“: сваки моном једног израза множи се са сваким мономом другог израза, а затим се добијени производи сабирају.
Множење два бинома:
\[ (x + 2)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 \]
Квадрат бинома:
\[ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \]
\[ (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \]
Разлика квадрата:
\[ (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 \]
Квадрирај бином: \( (3x - 5)^2 \)
Примењујемо формулу за квадрат бинома: \( (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \).
Овде је \( A = 3x \), а \( B = 5 \). \[ (3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25 \]
Овде је \( A = 3x \), а \( B = 5 \). \[ (3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25 \]
Растављање на чиниоце је обрнут поступак од сређивања израза. Циљ је да се израз прикаже као производ што једноставнијих израза (чинилаца), чији су степени мањи од степена полазног израза.
Куб бинома:
\[ (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \]
Разлика и збир кубова:
\[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \]
\[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \]
Изрази облика \( A^2 + AB + B^2 \) и \( A^2 - AB + B^2 \) не могу се даље раставити на чиниоце.
Задаци за вежбање
Лаки: Одреди коефицијент и степен монома \( -6a^4b^2 \).
Коефицијент (константа испред променљивих) је \( -6 \).
Степен је збир изложилаца свих променљивих: \( 4 + 2 = 6 \).
Одговор: Коефицијент је \( -6 \), а степен је \( 6 \).
Степен је збир изложилаца свих променљивих: \( 4 + 2 = 6 \).
Одговор: Коефицијент је \( -6 \), а степен је \( 6 \).
Средњи: Помножи изразе и среди добијени полином: \( (2x - 1)(x + 4) \).
Множимо сваки члан прве заграде са сваким чланом друге заграде:
\[ 2x \cdot x + 2x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 \]
\[ = 2x^2 + 8x - x - 4 \]
Сабирамо сличне мономе (\( 8x \) и \( -x \)):
\[ = 2x^2 + 7x - 4 \]
Тежи: Растави израз на чиниоце: \( 5y^3 - 45y \).
Први корак је извлачење заједничког чиниоца испред заграде. Заједнички чинилац за оба члана је \( 5y \):
\[ 5y(y^2 - 9) \]
Други корак је примена формуле за разлику квадрата на израз у загради (\( y^2 - 3^2 \)):
\[ 5y(y - 3)(y + 3) \]
