Најважније из лекције
- Углови: Периферијски угао је дупло мањи од централног угла над истим луком. Периферијски угао над пречником је \( 90^\circ \).
- Тангента: Нормална је на полупречник у тачки додира. Тангентне дужи из исте тачке су међусобно једнаке.
- Тетивни четвороугао: Око њега се описује круг. Збир наспрамних углова је \( 180^\circ \).
- Тангентни четвороугао: У њега се уписује круг. Збир наспрамних страница је међусобно једнак (\( a+c = b+d \)).
Централни угао кружнице је сваки угао чије је теме у центру те кружнице.
Периферијски угао круга је сваки угао чије теме припада кружници, а краци садрже две његове тетиве.
Теорема: Периферијски угао је два пута мањи од одговарајућег централног угла конструисаног над истим кружним луком.
\[ \angle \text{централни} = 2 \cdot \angle \text{периферијски} \]
Ако централни угао над одређеним луком износи \( 130^\circ \), колики је периферијски угао над тим истим луком?
Пошто је периферијски угао два пута мањи од централног над истим луком:
\( \angle \text{периферијски} = 130^\circ : 2 = 65^\circ \).
\( \angle \text{периферијски} = 130^\circ : 2 = 65^\circ \).
Сви периферијски углови над истим кружним луком су међусобно подударни (једнаки).
Сви периферијски углови над пречником (полукружницом) су прави углови (\( 90^\circ \)).
Угао између тангенте и тетиве која садржи тачку додира једнак је одговарајућем периферијском углу над луком који одређује та тетива.
Тангента и полупречник кружнице конструисан до тачке додира су увек узајамно нормални (граде угао од \( 90^\circ \)).
Тангентна дуж из неке тачке ван кружнице је дуж чији је један крај та тачка, а други је тачка додира кружнице и тангенте.
Теорема: Нека је тачка \( A \) у спољашњости кружнице. Тангентне дужи повучене из тачке \( A \) на ту кружницу су међусобно подударне (једнаких дужина).
Тетивни четвороугао је конвексан четвороугао око кога се може описати круг (сва четири темена припадају истој кружници, а странице су тетиве).
Теорема: У тетивном четвороуглу наспрамни углови су суплементни (њихов збир је \( 180^\circ \)).
\[ \alpha + \gamma = 180^\circ \]
\[ \beta + \delta = 180^\circ \]
Важи и обрнуто: Ако су наспрамни углови неког конвексног четвороугла суплементни, онда је тај четвороугао тетиван.
Тангентни четвороугао је конвексан четвороугао у који се може уписати круг (кружница додирује све четири странице четвороугла, па су странице тангенте).
Теорема: Ако је \( ABCD \) тангентни четвороугао, збир дужина једног пара наспрамних страница једнак је збиру дужина другог пара наспрамних страница.
\[ AB + CD = BC + DA \]
Важи и обрнуто: Ако је у конвексном четвороуглу збир две наспрамне странице једнак збиру друге две наспрамне странице, онда је тај четвороугао тангентан.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Периферијски угао је конструисан над пречником кружнице. Колика је мера тог угла?
Према последици теореме о угловима, сваки периферијски угао над пречником (полукружницом) је прав угао.
Одговор: \( 90^\circ \)
Одговор: \( 90^\circ \)
Средњи задатак: У тетивном четвороуглу \( ABCD \), унутрашњи угао код темена \( A \) износи \( \alpha = 72^\circ \). Израчунати меру њему наспрамног угла \( \gamma \) (код темена \( C \)).
У тетивном четвороуглу збир наспрамних углова је \( 180^\circ \).
\( \alpha + \gamma = 180^\circ \)
\( 72^\circ + \gamma = 180^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \)
Одговор: Наспрамни угао \( \gamma \) износи \( 108^\circ \).
\( \alpha + \gamma = 180^\circ \)
\( 72^\circ + \gamma = 180^\circ \)
\( \gamma = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \)
Одговор: Наспрамни угао \( \gamma \) износи \( 108^\circ \).
Тешки задатак: Обим тангентног четвороугла \( ABCD \) износи \( 50 \text{ cm} \). Ако је дужина странице \( AB = 14 \text{ cm} \), израчунати дужину њој наспрамне странице \( CD \).
За тангентни четвороугао важи правило да је збир наспрамних страница једнак:
\( AB + CD = BC + DA \)
Обим четвороугла је збир свих страница:
\( O = AB + BC + CD + DA \)
Како је \( BC + DA = AB + CD \), можемо записати обим као:
\( O = 2 \cdot (AB + CD) \)
\( 50 = 2 \cdot (14 + CD) \)
\( 14 + CD = 25 \)
\( CD = 25 - 14 = 11 \text{ cm} \)
Одговор: Дужина странице \( CD \) је \( 11 \text{ cm} \).
\( AB + CD = BC + DA \)
Обим четвороугла је збир свих страница:
\( O = AB + BC + CD + DA \)
Како је \( BC + DA = AB + CD \), можемо записати обим као:
\( O = 2 \cdot (AB + CD) \)
\( 50 = 2 \cdot (14 + CD) \)
\( 14 + CD = 25 \)
\( CD = 25 - 14 = 11 \text{ cm} \)
Одговор: Дужина странице \( CD \) је \( 11 \text{ cm} \).
