Најважније из лекције
Решавање правоуглог троугла: За одређивање непознатих елемената користимо везу између страница (Питагорина теорема), везу између углова (\( \alpha + \beta = 90^\circ \)) и везу страница и углова (тригонометријске функције: \( \sin, \cos, \text{tg}, \text{ctg} \)).
Мерење висина и растојања: Своди се на формирање правоуглог троугла и примену тригонометрије (најчешће функције тангенс). Не заборавити додавање висине посматрача ако је задата!
Површина троугла: Може се израчунати помоћу две странице и угла између њих: \( P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \).
Мерење висина и растојања: Своди се на формирање правоуглог троугла и примену тригонометрије (најчешће функције тангенс). Не заборавити додавање висине посматрача ако је задата!
Површина троугла: Може се израчунати помоћу две странице и угла између њих: \( P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \).
Решавање троугла подразумева одређивање свих његових основних елемената (страница и углова) на основу неколико познатих елемената.
Код правоуглог троугла, ако су позната било која два елемента (од којих је бар један страница), остале елементе можемо израчунати комбиновањем следећих правила:
Питагорина теорема: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
Збир оштрих углова: \( \alpha + \beta = 90^\circ \)
Тригонометријске функције: \( \sin \alpha = \frac{a}{c} \), \( \cos \alpha = \frac{b}{c} \), \( \text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \), итд.
Ако су познате катете \( a = 8,4 \text{ cm} \) и \( b = 10 \text{ cm} \):
1. Хипотенузу рачунамо као: \( c = \sqrt{8,4^2 + 10^2} = \sqrt{170,56} \approx 13,1 \text{ cm} \).
2. Угао \( \alpha \) одређујемо преко тангенса: \( \text{tg } \alpha = \frac{8,4}{10} = 0,84 \), одакле је \( \alpha \approx 40^\circ \).
3. Угао \( \beta \) је: \( 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).
1. Хипотенузу рачунамо као: \( c = \sqrt{8,4^2 + 10^2} = \sqrt{170,56} \approx 13,1 \text{ cm} \).
2. Угао \( \alpha \) одређујемо преко тангенса: \( \text{tg } \alpha = \frac{8,4}{10} = 0,84 \), одакле је \( \alpha \approx 40^\circ \).
3. Угао \( \beta \) је: \( 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).
Дат је правоугли троугао са хипотенузом \( c = 10 \text{ cm} \) и углом \( \alpha = 30^\circ \). Одреди катету \( a \) и угао \( \beta \).
Угао \( \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Користећи синус угла: \( \sin 30^\circ = \frac{a}{c} \).
Како је \( \sin 30^\circ = 0,5 \), важи \( 0,5 = \frac{a}{10} \implies a = 5 \text{ cm} \).
Користећи синус угла: \( \sin 30^\circ = \frac{a}{c} \).
Како је \( \sin 30^\circ = 0,5 \), важи \( 0,5 = \frac{a}{10} \implies a = 5 \text{ cm} \).
Једна од најважнијих практичних примена тригонометрије је одређивање висине објеката или удаљености до недоступних тачака без директног мерења, коришћењем познатих углова и једног доступног растојања.
У оваквим задацима најчешће се користи функција тангенс, јер повезује висину (наспрамну катету) и хоризонтално растојање (налегла катета).
Када се мери висина објекта, уређај за мерење углова се налази на одређеној висини од тла (висина ока посматрача). Ту висину на крају треба додати на израчунату висину из правоуглог троугла.
Ако посматрач види врх дрвета под углом од \( 12^\circ \), а удаљен је 10 m од дрвета. Висина ока посматрача је 1,5 m.
Из правоуглог троугла: \( \frac{x}{10} = \text{tg } 12^\circ \approx 0,21 \implies x \approx 2,1 \text{ m} \).
Укупна висина дрвета: \( h = 2,1 \text{ m} + 1,5 \text{ m} = 3,6 \text{ m} \).
Из правоуглог троугла: \( \frac{x}{10} = \text{tg } 12^\circ \approx 0,21 \implies x \approx 2,1 \text{ m} \).
Укупна висина дрвета: \( h = 2,1 \text{ m} + 1,5 \text{ m} = 3,6 \text{ m} \).
Ако је \( P \) површина троугла чије су странице \( a \) и \( b \) и њима захваћен угао \( \gamma \), онда је:
\[ P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]
Ова формула произилази из стандардне формуле за површину \( P = \frac{1}{2} a h_a \), јер се висина може изразити преко синуса угла: \( h_a = b \sin \gamma \).
Израчунај површину троугла чије су две странице \( 5 \text{ cm} \) и \( 8 \text{ cm} \), а угао који оне захватају је \( 30^\circ \).
Користимо формулу: \( P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \).
\( P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ \)
Како је \( \sin 30^\circ = 0,5 \), добијамо:
\( P = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 0,5 = 10 \text{ cm}^2 \).
\( P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ \)
Како је \( \sin 30^\circ = 0,5 \), добијамо:
\( P = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 0,5 = 10 \text{ cm}^2 \).
Задаци за вежбање
Лак: У правоуглом троуглу дата је катета \( a = 6 \text{ cm} \) и угао наспрам ње \( \alpha = 30^\circ \). Израчунај дужину хипотенузе \( c \).
Користимо синус угла \( \alpha \):
\( \sin \alpha = \frac{a}{c} \)
\( \sin 30^\circ = \frac{6}{c} \)
\( 0,5 = \frac{6}{c} \implies c = \frac{6}{0,5} = 12 \text{ cm} \).
\( \sin \alpha = \frac{a}{c} \)
\( \sin 30^\circ = \frac{6}{c} \)
\( 0,5 = \frac{6}{c} \implies c = \frac{6}{0,5} = 12 \text{ cm} \).
Средњи: Посматрач се налази на хоризонталној удаљености од 20 m од зграде. Врх зграде види под углом елевације од \( 45^\circ \). Ако је висина ока посматрача 1,6 m, колика је укупна висина зграде?
Посматрамо правоугли троугао где је хоризонтална катета 20 m, а наспрамна катета \( x \).
\( \text{tg } 45^\circ = \frac{x}{20} \)
Како је \( \text{tg } 45^\circ = 1 \), следи \( \frac{x}{20} = 1 \implies x = 20 \text{ m} \).
Укупна висина зграде се добија додавањем висине посматрача:
\( H = x + 1,6 \text{ m} = 20 + 1,6 = 21,6 \text{ m} \).
\( \text{tg } 45^\circ = \frac{x}{20} \)
Како је \( \text{tg } 45^\circ = 1 \), следи \( \frac{x}{20} = 1 \implies x = 20 \text{ m} \).
Укупна висина зграде се добија додавањем висине посматрача:
\( H = x + 1,6 \text{ m} = 20 + 1,6 = 21,6 \text{ m} \).
Тежак: Правилан шестоугао уписан је у круг полупречника \( R = 4 \text{ cm} \). Израчунај површину тог шестоугла користећи тригонометријску формулу за површину троугла.
Правилан шестоугао се може поделити на 6 подударних једнакокраких (у овом случају и једнакостраничних) троуглова са врхом у центру круга.
Странице тих троуглова су једнаке полупречнику \( a = b = R = 4 \text{ cm} \).
Угао између тих страница (централни угао) је \( \gamma = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \).
Површина једног троугла је: \( P_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Укупна површина шестоугла је: \( P = 6 \cdot P_1 = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Странице тих троуглова су једнаке полупречнику \( a = b = R = 4 \text{ cm} \).
Угао између тих страница (централни угао) је \( \gamma = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \).
Површина једног троугла је: \( P_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
Укупна површина шестоугла је: \( P = 6 \cdot P_1 = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^2 \).
