Најважније из лекције
Линеарна функција \( f(x) = ax + b \) има график који је права линија. Нула функције је \( x = -\frac{b}{a} \). Ако је \( a > 0 \), функција расте, а ако је \( a < 0 \), функција опада.
Константна функција \( f(x) = b \) има график који је права паралелна \( x \)-оси и није ни растућа ни опадајућа.
Функција апсолутне вредности \( f(x) = |x| \) има график у облику слова "V", увек је позитивна (осим у нули) и нула јој је у координатном почетку.
Константна функција \( f(x) = b \) има график који је права паралелна \( x \)-оси и није ни растућа ни опадајућа.
Функција апсолутне вредности \( f(x) = |x| \) има график у облику слова "V", увек је позитивна (осим у нули) и нула јој је у координатном почетку.
Нула функције је вредност \( x \) за коју је \( f(x) = 0 \).
Позитивна функција: \( f(x) > 0 \) на неком скупу. Негативна функција: \( f(x) < 0 \) на неком скупу.
Растућа функција: за свака два броја \( x_1 \) и \( x_2 \), ако је \( x_1 < x_2 \), онда је \( f(x_1) < f(x_2) \).
Опадајућа функција: за свака два броја \( x_1 \) и \( x_2 \), ако је \( x_1 < x_2 \), онда је \( f(x_1) > f(x_2) \).
Функција \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) дефинисана са \( f(x) = ax + b \), где су \( a \) и \( b \) реални бројеви, назива се линеарна функција. График сваке линеарне функције је права линија.
Нула функције (\( a \neq 0 \)): \[ x = -\frac{b}{a} \]
Инверзна функција: \[ f^{-1}(x) = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} \]
Ако је \( a > 0 \): функција је растућа на \( \mathbb{R} \). Позитивна је за \( x \in (-\frac{b}{a}, +\infty) \), а негативна за \( x \in (-\infty, -\frac{b}{a}) \).
Ако је \( a < 0 \): функција је опадајућа на \( \mathbb{R} \). Позитивна је за \( x \in (-\infty, -\frac{b}{a}) \), а негативна за \( x \in (-\frac{b}{a}, +\infty) \).
Ако је \( a < 0 \): функција је опадајућа на \( \mathbb{R} \). Позитивна је за \( x \in (-\infty, -\frac{b}{a}) \), а негативна за \( x \in (-\frac{b}{a}, +\infty) \).
За функцију \( f(x) = 2x - 4 \) имамо \( a=2, b=-4 \). Пошто је \( a>0 \), функција је растућа. Нула функције је \( x = -\frac{-4}{2} = 2 \).
Функција \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) дефинисана са \( f(x) = b \) (\( b \in \mathbb{R} \)) назива се константна функција. График је права паралелна \( x \)-оси.
Специфичне особине:
- Није ни "1-1" ни "на" функција.
- Ако је \( b \neq 0 \), нема нула. Ако је \( b = 0 \), сваки реалан број је нула.
- Није ни растућа ни опадајућа.
- Ако је \( b > 0 \), позитивна је на целом \( \mathbb{R} \). Ако је \( b < 0 \), негативна је на целом \( \mathbb{R} \).
Функција \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) дефинисана са \( f(x) = |x| \).
\[ |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \]
Особине:
- Нула функције је број 0.
- Позитивна је на интервалима \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \).
- Растућа је на \( [0, +\infty) \), а опадајућа на \( (-\infty, 0] \).
Задаци за вежбање
Лак: Одреди нулу и инверзну функцију линеарне функције \( f(x) = 3x + 6 \).
Нула функције се добија када изједначимо вредност функције са нулом:
\( 3x + 6 = 0 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2 \).
Инверзна функција се добија из формуле \( f^{-1}(x) = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} \):
\( f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x - \frac{6}{3} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x - 2 \).
\( 3x + 6 = 0 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2 \).
Инверзна функција се добија из формуле \( f^{-1}(x) = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a} \):
\( f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x - \frac{6}{3} \Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x - 2 \).
Средњи: Испитај знак и монотоност функције \( f(x) = -2x + 8 \).
Овде је \( a = -2 \) и \( b = 8 \). Пошто је \( a < 0 \), функција је опадајућа на целом скупу \( \mathbb{R} \).
Нула функције је \( x = -\frac{8}{-2} = 4 \).
Знак: Функција је позитивна (\( f(x) > 0 \)) за \( x \in (-\infty, 4) \), а негативна (\( f(x) < 0 \)) за \( x \in (4, +\infty) \).
Нула функције је \( x = -\frac{8}{-2} = 4 \).
Знак: Функција је позитивна (\( f(x) > 0 \)) за \( x \in (-\infty, 4) \), а негативна (\( f(x) < 0 \)) за \( x \in (4, +\infty) \).
Тежак: Одреди нуле функције са апсолутном вредношћу: \( f(x) = 3 - |x - 2| \).
Нуле функције тражимо решавањем једначине \( f(x) = 0 \):
\[ 3 - |x - 2| = 0 \Rightarrow |x - 2| = 3 \] Ово значи да израз унутар апсолутне вредности може бити 3 или -3:
1) \( x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 \)
2) \( x - 2 = -3 \Rightarrow x = -1 \)
Одговор: Нуле ове функције су бројеви \( -1 \) и \( 5 \).
\[ 3 - |x - 2| = 0 \Rightarrow |x - 2| = 3 \] Ово значи да израз унутар апсолутне вредности може бити 3 или -3:
1) \( x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 \)
2) \( x - 2 = -3 \Rightarrow x = -1 \)
Одговор: Нуле ове функције су бројеви \( -1 \) и \( 5 \).
