35. Вектори

Корак 1: Поставка задатка и обележавање

Нека је дат трапез \( ABCD \) чије су основице \( AB \) и \( CD \). Обележимо са \( E \) средиште крака \( AD \), а са \( F \) средиште крака \( BC \). Дуж \( EF \) представља средњу линију трапеза. Наш циљ је да докажемо да је \( EF \parallel AB \), \( EF \parallel CD \) и да је \( |EF| = \frac{|AB| + |CD|}{2} \). Ово ћемо доказати коришћењем вектора.
Нацртати трапез ABCD. Темена трапеза обележити као A (доле лево), B (доле десно), C (горе десно) и D (горе лево). Дуж AB представља доњу основицу, а дуж CD горњу основицу трапеза, при чему су основице AB и CD паралелне. На краку AD означити тачку E као његово средиште. На краку BC означити тачку F као његово средиште. Спојити тачке E и F дужи, која представља средњу линију трапеза. Означити векторе \(\vec{AB}\) (од A до B), \(\vec{DC}\) (од D до C) и \(\vec{EF}\) (од E до F) стрелицама које показују слева надесно. Такође, означити векторе на крацима: \(\vec{EA}\) (од E до A) и \(\vec{ED}\) (од E до D), који полазе из тачке E, као и векторе \(\vec{BF}\) (од B до F) и \(\vec{CF}\) (од C до F), који су усмерени ка тачки F.

Корак 2: Изражавање вектора средње линије

Вектор \( \vec{EF} \) можемо изразити на два начина, користећи правило многоугла (надовезивања вектора) преко доње и преко горње основице трапеза. Преко доње основице: \[ \vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BF} \] Преко горње основице: \[ \vec{EF} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF} \]

Корак 3: Сабирање једначина

Сабраћемо ове две једнакости како бисмо добили везу између средње линије и основица: \[ 2\vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF} \]

Корак 4: Елиминација супротних вектора

Пошто је тачка \( E \) средиште дужи \( AD \), вектори \( \vec{EA} \) и \( \vec{ED} \) имају исти правац и интензитет, али супротан смер. Зато можемо писати да је \( \vec{ED} = -\vec{EA} \). Слично, пошто је тачка \( F \) средиште дужи \( BC \), вектори \( \vec{BF} \) и \( \vec{CF} \) (усмерени ка тачки \( F \)) имају исти правац и интензитет, али супротан смер, па важи \( \vec{CF} = -\vec{BF} \). Заменом ових вредности у претходну једначину добијамо: \[ 2\vec{EF} = \cancel{\vec{EA}} + \vec{AB} + \cancel{\vec{BF}} - \cancel{\vec{EA}} + \vec{DC} - \cancel{\vec{BF}} \] Када поништимо супротне векторе, остаје нам: \[ 2\vec{EF} = \vec{AB} + \vec{DC} \] Одавде, дељењем са 2, изражавамо вектор \( \vec{EF} \): \[ \vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC}) \]

Корак 5: Геометријско тумачење резултата

Из добијене векторске једнакости изводимо два важна закључка: 1) Паралелност: Пошто су основице трапеза паралелне, вектори \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \) су колинеарни и имају исти смер. Њихов збир \( \vec{AB} + \vec{DC} \) је такође вектор који је колинеаран са њима. Пошто је вектор \( \vec{EF} \) једнак производу скалара и збира ова два вектора, следи да је и он колинеаран са њима. Тиме смо доказали да је средња линија паралелна основицама: \( EF \parallel AB \) и \( EF \parallel CD \). 2) Дужина: Пошто вектори \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \) имају исти смер, интензитет њиховог збира једнак је збиру њихових интензитета: \( |\vec{AB} + \vec{DC}| = |\vec{AB}| + |\vec{DC}| \). Ако применимо интензитет на векторску једначину, добијамо: \[ |\vec{EF}| = \left| \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC}) \right| = \frac{1}{2} (|\vec{AB}| + |\vec{DC}|) \] Ако означимо дужине основица са \( a = |AB| \) и \( b = |CD| \), а дужину средње линије са \( m = |EF| \), добијамо формулу: \[ m = \frac{a + b}{2} \] Овим смо доказали да је дужина средње линије трапеза једнака полузбиру његових основица.

\[ \vec{EF} = \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BF} \] \[ \vec{EF} = \vec{ED} + \vec{DC} + \vec{CF} \] Како су \( E \) и \( F \) средишта кракова, важи \( \vec{ED} = -\vec{EA} \) и \( \vec{CF} = -\vec{BF} \). Сабирањем добијамо: \[ 2\vec{EF} = \cancel{\vec{EA}} + \vec{AB} + \cancel{\vec{BF}} - \cancel{\vec{EA}} + \vec{DC} - \cancel{\vec{BF}} = \vec{AB} + \vec{DC} \] \[ \vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{DC}) \] Како су \( \vec{AB} \) и \( \vec{DC} \) истог смера, \( \vec{EF} \) је паралелан основицама и важи \( |\vec{EF}| = \frac{|\vec{AB}| + |\vec{DC}|}{2} \).