16. Скуп Реалних Бројева

Да бисмо доказали да су дати изрази ирационални бројеви, користићемо методу доказивања свођењем на противречност (контрадикцију). За сваки случај ћемо претпоставити супротно од онога што треба да се докаже, односно претпоставићемо да је резултат датог израза рационалан број \( q \) (\( q \in \mathbb{Q} \)). Затим ћемо користити чињеницу да је скуп рационалних бројева затворен за основне рачунске операције, што значи да су збир, разлика, производ и количник (при дељењу бројем различитим од нуле) два рационална броја такође рационални бројеви. На крају ћемо показати да нас то доводи до нетачног закључка (контрадикције) да је број \( x \) рационалан, чиме ћемо доказати да је почетна претпоставка била погрешна.

а) \( r - x \)

Корак 1: Претпоставка супротног

Претпоставимо супротно, односно да је број \( r - x \) рационалан. Нека је тај број \( q \), при чему је \( q \in \mathbb{Q} \). Тада можемо записати једнакост: \[ r - x = q \]

Корак 2: Изоловање ирационалног броја

Изразимо непознати ирационални број \( x \) преко рационалних бројева \( r \) и \( q \). Додавањем \( x \) и одузимањем \( q \) са обе стране једначине добијамо: \[ x = r - q \]

Корак 3: Извођење закључка и контрадикције

Пошто су и \( r \) и \( q \) рационални бројеви, а скуп рационалних бројева је затворен за одузимање, њихова разлика \( r - q \) мора бити рационалан број. Ово би значило да је број \( x \) са леве стране једнакости рационалан, што је у супротности са почетним условом задатка да је \( x \) ирационалан број. Због ове контрадикције, закључујемо да наша претпоставка није тачна. Дакле, доказано је да је број \( r - x \) ирационалан.

б) \( rx \)

Корак 1: Претпоставка супротног

Претпоставимо да је производ \( rx \) рационалан број. Означимо га са \( q \), где је \( q \in \mathbb{Q} \). \[ rx = q \]

Корак 2: Изоловање ирационалног броја

Пошто је у задатку наглашено да је број \( r \) различит од нуле (\( r \neq 0 \)), можемо обе стране једначине поделити са \( r \): \[ x = \frac{q}{r} \]

Корак 3: Извођење закључка и контрадикције

Како су \( q \) и \( r \) рационални бројеви (\( r \neq 0 \)), њихов количник \( \frac{q}{r} \) је такође рационалан број (због затворености скупа \( \mathbb{Q} \) у односу на дељење). То значи да би \( x \) морао бити рационалан број, што противречи услову задатка. Дакле, претпоставка је нетачна и доказано је да је број \( rx \) ирационалан.

в) \( r : x \)

Корак 1: Претпоставка супротног

Да би дељење било дефинисано, делилац \( x \) мора бити различит од нуле. Пошто је \( x \) ирационалан број, он сигурно није нула (јер је нула рационалан број). Претпоставимо да је количник \( r : x \) рационалан број \( q \), где је \( q \in \mathbb{Q} \). \[ \frac{r}{x} = q \]

Корак 2: Изоловање ирационалног броја

Ако би било \( q = 0 \), тада би из \( \frac{r}{x} = 0 \) следило да је \( r = 0 \), што је немогуће јер је по услову задатка \( r \neq 0 \). Дакле, сигурно је \( q \neq 0 \). Множењем једначине са \( x \) и дељењем са \( q \) добијамо: \[ x = \frac{r}{q} \]

Корак 3: Извођење закључка и контрадикције

Пошто су \( r \) и \( q \) рационални бројеви различити од нуле, њихов количник \( \frac{r}{q} \) је рационалан број. Ово поново доводи до закључка да је \( x \) рационалан број, што је контрадикција. Према томе, доказано је да је број \( r : x \) ирационалан.

г) \( x : r \)

Корак 1: Претпоставка супротног

Претпоставимо да је количник \( x : r \) рационалан број \( q \), где је \( q \in \mathbb{Q} \). \[ \frac{x}{r} = q \]

Корак 2: Изоловање ирационалног броја

Множењем обе стране једначине бројем \( r \) (који је различит од нуле) добијамо: \[ x = q \cdot r \]

Корак 3: Извођење закључка и контрадикције

Производ два рационална броја \( q \) и \( r \) је увек рационалан број. То би значило да је \( x \) рационалан број, што је у супротности са податком да је \( x \) ирационалан. Доказали смо да претпоставка не важи, чиме је доказано да је број \( x : r \) ирационалан.

Нека је \( q \in \mathbb{Q} \). а) \( r - x = q \Rightarrow x = r - q \in \mathbb{Q} \) (контрадикција) б) \( r \cdot x = q \Rightarrow x = \frac{q}{r} \in \mathbb{Q} \) (контрадикција) в) \( r : x = q \Rightarrow x = \frac{r}{q} \in \mathbb{Q} \) (контрадикција) г) \( x : r = q \Rightarrow x = q \cdot r \in \mathbb{Q} \) (контрадикција)