21. Тачке, Праве И Равни. Односи Припадања

Шта тражимо

На основу слике треба да проверимо које од десет наведених формула тачно описују односе припадања између тачака, правих \( a, b, c \) и равни \( \alpha, \beta, \gamma \). Служимо се подацима које нам сама слика (и придружене формуле уз њу) дају:

• права \( a \) сече раван \( \gamma \) у једној тачки: \( a \cap \gamma = \{T\} \);
• равни \( \alpha \) и \( \gamma \) секу се по правој \( p \): \( \alpha \cap \gamma = p \), и тачка \( P \) лежи на тој правој \( p \) (лево на слици), дакле \( P \notin a \);
• праве \( a \) и \( b \) секу се у тачки \( S \);
• права \( a \) продире раван \( \beta \) у тачки \( B_1 \);
• права \( c \) лежи у равни \( \gamma \): \( c \subset \gamma \), и пролази кроз тачку \( P \) (која је на \( \alpha \)) и кроз \( \beta \).

Провера формула

1) \( P \in a \cap \gamma \)

Права \( a \) сече раван \( \gamma \) само у тачки \( T \), тј. \( a \cap \gamma = \{T\} \). Тачка \( P \) лежи на правој \( p = \alpha \cap \gamma \) и није на правој \( a \), па \( P \neq T \). Дакле \( P \notin a \cap \gamma \) — формула није тачна.

2) \( a \cap b = \{S\} \)

Праве \( a \) и \( b \) са слике имају једну заједничку тачку, а то је \( S \). Према последици аксиоме о правама, две различите праве могу имати највише једну заједничку тачку, што се овде и остварује. Формула је тачна.

3) \( a \cap \beta = \{B_1\} \)

Права \( a \) не лежи у равни \( \beta \), већ је продире (има с њом тачно једну заједничку тачку), а то је баш тачка \( B_1 \). Дакле \( a \cap \beta = \{B_1\} \) — формула је тачна.

4) \( \beta \cap \gamma = \{Q\} \)

Равни \( \beta \) и \( \gamma \) су две различите равни које имају заједничких тачака, па је по аксиоми о пресеку двеју равни њихов пресек права, а не једна тачка. Тачка \( Q \) јесте на тој пресечној правој, али сам пресек није једночлан скуп \( \{Q\} \). Формула није тачна.

5) \( c \cap \alpha = \emptyset \land c \cap \beta = \emptyset \)

Права \( c \) пролази кроз тачку \( P \), која припада равни \( \alpha \) (јер \( P \in p = \alpha \cap \gamma \)), па је \( c \cap \alpha \neq \emptyset \). Такође \( c \) досеже раван \( \beta \), па је и \( c \cap \beta \neq \emptyset \). Оба члана конјункције су нетачна, па је формула нетачна.

6) \( C \notin c \lor C \notin \gamma \)

Тачка \( C \) не лежи на правој \( c \), тј. \( C \notin c \). Пошто је довољно да један члан дисјункције буде тачан да би цела дисјункција била тачна, овим је формула испуњена. Формула је тачна.

7) \( P \in p \land p \subset \gamma \Rightarrow P \in \gamma \)

Ово је исправно закључивање: ако тачка \( P \) припада правој \( p \), а права \( p \) је садржана у равни \( \gamma \), онда и тачка \( P \) припада равни \( \gamma \). Импликација је тачна (и претпоставка и последица су у складу са сликом). Формула је тачна.

8) \( C \in c \land c \subset \gamma \Rightarrow C \in \gamma \)

Иста ваљана логичка схема као у 7): ако тачка \( C \) припада правој \( c \), а \( c \) је садржана у \( \gamma \), онда \( C \) припада \( \gamma \). Импликација је тачна. Формула је тачна.

9) \( B_1 \in a \cap \beta \Rightarrow B \in a \cap \beta \)

Претпоставка \( B_1 \in a \cap \beta \) јесте тачна, али тачка \( B \) (на правој \( b \), у равни \( \beta \)) не лежи на правој \( a \), па \( B \notin a \cap \beta \). Импликација са тачном претпоставком и нетачном последицом је нетачна. Формула није тачна.

10) \( a \cap c = \emptyset \Rightarrow a \cap \gamma = \emptyset \)

Права \( a \) не сече праву \( c \) (тачка \( T \) не лежи на \( c \)), па је претпоставка \( a \cap c = \emptyset \) тачна. Али \( a \) продире раван \( \gamma \) у тачки \( T \), тј. \( a \cap \gamma = \{T\} \neq \emptyset \), па је последица нетачна. Импликација са тачном претпоставком и нетачном последицом је нетачна. Формула није тачна.

Закључак

Тачне су формуле: 2), 3), 6), 7) и 8).

Тачне су формуле: 2), 3), 6), 7) и 8).