Најважније из лекције
- Дефинисаност: Рационални израз постоји само ако је његов именилац различит од нуле. Решавање услова се своди на растављање имениоца на чиниоце и постављање услова да ниједан није једнак нули (нпр. \( x(x-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq 1 \)).
- Операције: Сабирање, одузимање, множење и дељење алгебарских разломака раде се по потпуно истим правилима као и код обичних разломака бројних вредности.
- Основни облик: Рачунање је завршено када се израз растави на чиниоце и максимално скрати, при чему бројилац и именилац немају више заједничких делилаца.
Рационални алгебарски израз садржи дељење. Како дељење нулом није дефинисано, израз нема вредност за оне вредности променљивих за које је именилац (делилац) једнак нули.
Услов: Формула која описује за које вредности променљивих је израз дефинисан (именилац различит од нуле). Приликом навођења услова знак „\(\land\)“ (и) се најчешће замењује зарезом.
Израз \( \frac{x+1}{(x-1)(x+2)} \) је дефинисан под условом да ниједан чинилац у имениоцу није нула:
\( x-1 \neq 0 \land x+2 \neq 0 \)
Дакле, услов је: \( x \neq 1, x \neq -2 \).
\( x-1 \neq 0 \land x+2 \neq 0 \)
Дакле, услов је: \( x \neq 1, x \neq -2 \).
Неки рационални изрази су дефинисани за све вредности променљивих. На пример, израз \( \frac{1}{x^2+1} \) је увек дефинисан јер је \( x^2 \ge 0 \) за сваки реалан број, па именилац \( x^2+1 \) никада не може бити једнак нули.
Одредите услов под којим је дефинисан израз \( \frac{3a-5}{2a(a-4)} \).
Именилац не сме бити једнак нули, што значи да ниједан од чинилаца не сме бити нула:
\( 2a \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 \)
\( a-4 \neq 0 \Rightarrow a \neq 4 \)
Одговор: Израз је дефинисан под условом \( a \neq 0, a \neq 4 \).
\( 2a \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 \)
\( a-4 \neq 0 \Rightarrow a \neq 4 \)
Одговор: Израз је дефинисан под условом \( a \neq 0, a \neq 4 \).
Код рационалних израза говоримо о условној еквивалентности. Два израза \( A \) и \( B \) су еквивалентна под условом \( U \) (пишемо \( A = B, U \)) ако су њихове вредности једнаке за сваки избор променљивих који задовољава тај услов.
Основни облик: Рационални израз облика \( \frac{P}{Q} \), где су \( P \) и \( Q \) цели алгебарски изрази који немају заједничких чинилаца (израз је потпуно скраћен) и где је \( Q \neq 0 \).
Све трансформације рационалних израза (свођење на основни облик) базиране су на основним особинама операција са разломцима. За сваку операцију морају се поштовати услови дефинисаности (имениоци не смеју бити нуле).
| Операција | Формула | Услов |
|---|---|---|
| Проширивање и скраћивање | \[ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} \] | \( B \neq 0, C \neq 0 \) |
| Сабирање и одузимање | \[ \frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D \pm C \cdot B}{B \cdot D} \] | \( B \neq 0, D \neq 0 \) |
| Множење | \[ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} \] | \( B \neq 0, D \neq 0 \) |
| Дељење (двојни разломак) | \[ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{\frac{A}{B}}{\frac{C}{D}} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} \] | \( B \neq 0, D \neq 0, C \neq 0 \) |
Трансформација израза у основни облик захтева налажење заједничког имениоца, сређивање бројиоца и на крају скраћивање (ако је могуће):
\[ 1 + \frac{(x-y)^2}{x^2-y^2} = \frac{x^2-y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} \]
\[ = \frac{x^2-y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} \]
\[ = \frac{2x^2-2xy}{x^2-y^2} \]
Растављањем на чиниоце добијамо могућност скраћивања:
\[ = \frac{2x(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x}{x+y} \]
Уз услов: \( x \neq y, x \neq -y \).
Задаци за вежбање
Лак: Одредите услов под којим је дефинисан израз \( \frac{x-5}{x^2-9} \).
Именилац мора бити различит од нуле: \( x^2-9 \neq 0 \).
Растављањем на чиниоце (разлика квадрата) добијамо: \( (x-3)(x+3) \neq 0 \).
Одговор: Израз је дефинисан под условом \( x \neq 3, x \neq -3 \).
Растављањем на чиниоце (разлика квадрата) добијамо: \( (x-3)(x+3) \neq 0 \).
Одговор: Израз је дефинисан под условом \( x \neq 3, x \neq -3 \).
Средњи: Скратите дати рационални израз и наведите услове под којима једнакост важи: \( \frac{2x^2 - 8}{x^2 + 2x} \).
Прво растављамо бројилац и именилац на чиниоце:
Бројилац: \( 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x-2)(x+2) \)
Именилац: \( x^2 + 2x = x(x+2) \)
Услов за именилац: \( x(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq -2 \).
Сада скраћујемо израз: \[ \frac{2(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{2(x-2)}{x} \] Одговор: Основни облик је \( \frac{2x-4}{x} \), под условом \( x \neq 0, x \neq -2 \).
Бројилац: \( 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x-2)(x+2) \)
Именилац: \( x^2 + 2x = x(x+2) \)
Услов за именилац: \( x(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq -2 \).
Сада скраћујемо израз: \[ \frac{2(x-2)(x+2)}{x(x+2)} = \frac{2(x-2)}{x} \] Одговор: Основни облик је \( \frac{2x-4}{x} \), под условом \( x \neq 0, x \neq -2 \).
Тежак: Извршите назначене операције и сведите израз на основни облик: \( \frac{a}{a-2} + \frac{a^2}{4-a^2} \).
Да бисмо сабрали разломке, морамо наћи заједнички именилац.
Именилац другог разломка је разлика квадрата: \( 4-a^2 = (2-a)(2+a) \).
Приметимо да је \( a-2 = -(2-a) \), па именилац првог разломка можемо записати тако да се поклапа са чиниоцем у другом, или можемо извући минус испред другог разломка: \( 4-a^2 = -(a^2-4) = -(a-2)(a+2) \).
Израз постаје: \[ \frac{a}{a-2} - \frac{a^2}{(a-2)(a+2)} \] Заједнички именилац је \( (a-2)(a+2) \). Проширујемо први разломак са \( (a+2) \): \[ \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{a^2}{(a-2)(a+2)} \] \[ = \frac{a^2+2a-a^2}{(a-2)(a+2)} \] \[ = \frac{2a}{(a-2)(a+2)} \] Услов дефинисаности је да су имениоци различити од нуле: \( a-2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2 \) и \( a+2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2 \).
Одговор: Резултат је \( \frac{2a}{a^2-4} \) под условом \( a \neq 2, a \neq -2 \).
Именилац другог разломка је разлика квадрата: \( 4-a^2 = (2-a)(2+a) \).
Приметимо да је \( a-2 = -(2-a) \), па именилац првог разломка можемо записати тако да се поклапа са чиниоцем у другом, или можемо извући минус испред другог разломка: \( 4-a^2 = -(a^2-4) = -(a-2)(a+2) \).
Израз постаје: \[ \frac{a}{a-2} - \frac{a^2}{(a-2)(a+2)} \] Заједнички именилац је \( (a-2)(a+2) \). Проширујемо први разломак са \( (a+2) \): \[ \frac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)} - \frac{a^2}{(a-2)(a+2)} \] \[ = \frac{a^2+2a-a^2}{(a-2)(a+2)} \] \[ = \frac{2a}{(a-2)(a+2)} \] Услов дефинисаности је да су имениоци различити од нуле: \( a-2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2 \) и \( a+2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2 \).
Одговор: Резултат је \( \frac{2a}{a^2-4} \) под условом \( a \neq 2, a \neq -2 \).
