31. Ставови Подударности Троуглова И Неке Важне Последице

Корак 1: Скица и помоћна дуж

Тачке \( C_1 \) и \( C_2 \) су са различитих страна праве \( AB \). Зато дуж \( C_1C_2 \) сече праву \( AB \) у некој тачки \( P \). Нацртаћемо помоћну дуж \( C_1C_2 \).
Нацртати тачке \( A \) и \( B \). Тачка \( A \) треба да буде изнад тачке \( B \), формирајући вертикалну дуж \( AB \). Нацртати тачку \( C_1 \) лево од праве која садржи дуж \( AB \). Нацртати тачку \( C_2 \) десно од праве која садржи дуж \( AB \). Четвороугао \( AC_1BC_2 \) треба да изгледа као делтоид, што значи да су странице \( AC_1 \) и \( AC_2 \) једнаке дужине, као и странице \( BC_1 \) и \( BC_2 \). Спојити тачке \( A \) са \( C_1 \), \( B \) са \( C_1 \), \( A \) са \( C_2 \) и \( B \) са \( C_2 \) пуним линијама. Нацртати помоћну дуж \( C_1C_2 \) испрекиданом линијом. Ова дуж треба да сече дуж \( AB \). Означити угао \( \angle AC_1C_2 \) и угао \( \angle AC_2C_1 \) једном бојом (нпр. плавом), користећи одговарајући симбол (нпр. `\alpha`). Означити угао \( \angle BC_1C_2 \) и угао \( \angle BC_2C_1 \) другом бојом (нпр. црвеном), користећи одговарајући симбол (нпр. `\beta`). Поставити ознаке углова унутар троуглова \( AC_1C_2 \) и \( BC_1C_2 \) близу темена \( C_1 \) и \( C_2 \), између одговарајућих линија. Дато је: \[ AC_1 \cong AC_2, \qquad BC_1 \cong BC_2 \] Треба доказати: \[ \angle ABC_1 \cong \angle ABC_2 \]

Корак 2: Једнакокраки троугласи

Пошто је \( AC_1 \cong AC_2 \), троугао \( AC_1C_2 \) је једнакокраки са основицом \( C_1C_2 \). Углови на основици су подударни: \[ \angle AC_1C_2 \cong \angle AC_2C_1 = \alpha \] Пошто је \( BC_1 \cong BC_2 \), троугао \( BC_1C_2 \) је једнакокраки са основицом \( C_1C_2 \). Због тога је: \[ \angle BC_1C_2 \cong \angle BC_2C_1 = \beta \]

Корак 3: Подударност углова \( \angle AC_1B \) и \( \angle AC_2B \)

Посматрамо случај са слике, када тачка \( P \) припада дужи \( AB \). Тада је дуж \( C_1C_2 \) унутар углова \( \angle AC_1B \) и \( \angle AC_2B \), па важи: \[ \angle AC_1B = \angle AC_1C_2 + \angle C_2C_1B = \alpha + \beta \] \[ \angle AC_2B = \angle AC_2C_1 + \angle C_1C_2B = \alpha + \beta \] Дакле: \[ \angle AC_1B \cong \angle AC_2B \]

Корак 4: Примена става СУС

Посматрајмо \( \Delta ABC_1 \) и \( \Delta ABC_2 \): \[ \left. \begin{array}{r} AC_1 \cong AC_2 \\ \angle AC_1B \cong \angle AC_2B \\ BC_1 \cong BC_2 \end{array} \right\} \xrightarrow{СУС} \Delta ABC_1 \cong \Delta ABC_2 \] Из подударности троуглова следи: \[ \angle ABC_1 \cong \angle ABC_2 \]

Корак 5: Остали положаји тачке \( P \)

Тачка \( P \) је изван дужи \( AB \). Нека је, на пример, \( A \) између \( P \) и \( B \). Тада је: \[ \angle AC_1B = \beta - \alpha, \qquad \angle AC_2B = \beta - \alpha \] Ако је \( B \) између \( P \) и \( A \), добија се \( \alpha - \beta \) у оба случаја. У сваком случају је \( \angle AC_1B \cong \angle AC_2B \), па исти закључак следи на основу става СУС. Тачка \( P \) се поклапа са \( A \) (или \( B \)). Тада је \( A \) на дужи \( C_1C_2 \) и \( \angle AC_1B = \angle C_2C_1B = \beta = \angle C_1C_2B = \angle AC_2B \). Исти закључак важи и у овом случају. ■

\( AC_1 \cong AC_2 \Rightarrow \angle AC_1C_2 \cong \angle AC_2C_1 = \alpha \); \( BC_1 \cong BC_2 \Rightarrow \angle BC_1C_2 \cong \angle BC_2C_1 = \beta \) \( \angle AC_1B = \alpha + \beta = \angle AC_2B \) \( AC_1 \cong AC_2,\ \angle AC_1B \cong \angle AC_2B,\ BC_1 \cong BC_2 \xrightarrow{СУС} \Delta ABC_1 \cong \Delta ABC_2 \Rightarrow \angle ABC_1 \cong \angle ABC_2 \) ■