31. Ставови Подударности Троуглова И Неке Важне Последице

Нацртати тачке \( A \) и \( B \). Тачка \( A \) треба да буде изнад тачке \( B \), формирајући вертикалну дуж \( AB \). Нацртати тачку \( C_1 \) лево од праве која садржи дуж \( AB \). Нацртати тачку \( C_2 \) десно од праве која садржи дуж \( AB \). Четвороугао \( AC_1BC_2 \) треба да изгледа као делтоид, што значи да су странице \( AC_1 \) и \( AC_2 \) једнаке дужине, као и странице \( BC_1 \) и \( BC_2 \). Спојити тачке \( A \) са \( C_1 \), \( B \) са \( C_1 \), \( A \) са \( C_2 \) и \( B \) са \( C_2 \) пуним линијама. Нацртати помоћну дуж \( C_1C_2 \) испрекиданом линијом. Ова дуж треба да сече дуж \( AB \). Означити угао \( \angle AC_1C_2 \) и угао \( \angle AC_2C_1 \) једном бојом (нпр. плавом), користећи одговарајући симбол (нпр. `\alpha`). Означити угао \( \angle BC_1C_2 \) и угао \( \angle BC_2C_1 \) другом бојом (нпр. црвеном), користећи одговарајући симбол (нпр. `\beta`). Поставити ознаке углова унутар троуглова \( AC_1C_2 \) и \( BC_1C_2 \) близу темена \( C_1 \) и \( C_2 \), између одговарајућих линија.

Корак 1: Анализа задатка и помоћна конструкција

Циљ овог задатка је доказивање теореме која тврди следеће: ако се тачке \( C_1 \) и \( C_2 \) налазе са разних страна праве \( AB \) и ако важи \( AC_1 \cong AC_2 \) и \( BC_1 \cong BC_2 \), онда је \( \angle ABC_1 \cong \angle ABC_2 \). Важно је напоменути да овде не смемо користити став ССС, јер се ова теорема користи управо да би се став ССС касније доказао. Да бисмо решили проблем, спојићемо тачке \( C_1 \) и \( C_2 \) помоћном дужи. Пошто се оне налазе са разних страна праве \( AB \), дуж \( C_1C_2 \) ће сећи праву \( AB \).

Корак 2: Уочавање једнакокраких троуглова

Посматрајмо прво троугао \( \Delta AC_1C_2 \). У поставци је дато: \[ AC_1 \cong AC_2 \] Ово значи да је троугао једнакокрак са основицом \( C_1C_2 \). Особина једнакокраког троугла је да су му углови на основици једнаки: \[ \angle AC_1C_2 \cong \angle AC_2C_1 \] Затим посматрајмо троугао \( \Delta BC_1C_2 \). Дато је: \[ BC_1 \cong BC_2 \] Овај троугао је такође једнакокрак са истом основицом \( C_1C_2 \). Према истој особини, његови углови на основици су једнаки: \[ \angle BC_1C_2 \cong \angle BC_2C_1 \]

Корак 3: Одређивање подударности целих углова

Сада желимо да упоредимо углове \( \angle AC_1B \) и \( \angle AC_2B \). Претпоставимо да дуж \( C_1C_2 \) сече дуж \( AB \). Угао \( \angle AC_1B \) је једнак збиру мањих углова: \[ \angle AC_1B = \angle AC_1C_2 + \angle BC_1C_2 \] Слично, угао \( \angle AC_2B \) је једнак збиру одговарајућих углова: \[ \angle AC_2B = \angle AC_2C_1 + \angle BC_2C_1 \] Пошто смо у претходном кораку доказали да су делови ових углова међусобно једнаки, следи да су и њихови збирови једнаки: \[ \angle AC_1B \cong \angle AC_2B \] (У случају да пресек пада ван дужи \( AB \), ови углови би били разлика мањих углова, па би закључак о једнакости остао исти).

Корак 4: Примена става СУС на нове троуглове

Сада посматрајмо троуглове \( \Delta AC_1B \) и \( \Delta AC_2B \). У њима можемо уочити три пара подударних елемената: \[ AC_1 \cong AC_2 \] \[ \angle AC_1B \cong \angle AC_2B \] \[ BC_1 \cong BC_2 \] Према првом ставу подударности троуглова (став СУС), ако су две странице и њима захваћени угао једног троугла једнаки са две странице и захваћеним углом другог, та два троугла су подударна. Закључујемо: \[ \Delta AC_1B \cong \Delta AC_2B \]

Корак 5: Завршни закључак

Из доказане подударности троуглова \( \Delta AC_1B \) и \( \Delta AC_2B \), директно следи да су им сви одговарајући елементи подударни. Наспрам једнаких страница \( AC_1 \) и \( AC_2 \) налазе се углови: \[ \angle ABC_1 \cong \angle ABC_2 \] Овим је доказ теореме у потпуности завршен.

\[ \Delta AC_1C_2 \text{ је једнакокрак } (AC_1 \cong AC_2) \Rightarrow \angle AC_1C_2 \cong \angle AC_2C_1 \] \[ \Delta BC_1C_2 \text{ је једнакокрак } (BC_1 \cong BC_2) \Rightarrow \angle BC_1C_2 \cong \angle BC_2C_1 \] \[ \angle AC_1B = \angle AC_1C_2 + \angle BC_1C_2 \cong \angle AC_2C_1 + \angle BC_2C_1 = \angle AC_2B \] \[ \text{На основу става СУС: } \Delta AC_1B \cong \Delta AC_2B \] \[ \Rightarrow \angle ABC_1 \cong \angle ABC_2 \]